Отрезки AB и CD являются хордами окружности .найдите длину хорды CD если AB=20 а расстояние от центра окружности до хорд AB и CD равны соответственно 24 и 10

Чтобы найти длину хорды $CD$, зная длину хорды $AB = 20$ и расстояния от центра окружности до хорд $AB$ и $CD$, равные соответственно $24$ и $10$, воспользуемся геометрическими свойствами окружности.

Шаг 1: Связь между расстоянием от центра до хорды и длиной хорды

Если расстояние от центра окружности до хорды равно $d$, а длина хорды равна $l$, то можно использовать прямоугольный треугольник, образуемый радиусом, перпендикуляром к хорде и половиной хорды. В этом треугольнике радиус окружности является гипотенузой, а половина хорды и расстояние до центра — катетами. Формула связывает эти величины:

где:

• $r$ — радиус окружности,
• $l$ — длина хорды,
• $d$ — расстояние от центра окружности до хорды.

Шаг 2: Найти радиус окружности

Для хорды $AB$:

• $d_{AB} = 24$,
• $l_{AB} = 20$.

Половина хорды $AB$ равна $\frac{l_{AB}}{2} = 10$. Подставляем в формулу:

Вычисляем:

Таким образом, радиус окружности равен $26$.

Шаг 3: Найти длину хорды $CD$

Для хорды $CD$:

• $d_{CD} = 10$,
• $r = 26$.

Пусть длина хорды $CD = l_{CD}$. Половина хорды $CD$ равна $\frac{l_{CD}}{2}$. Подставляем известные значения в формулу:

Подставляем значения $r = 26$ и $d_{CD} = 10$:

Вычисляем:

Вычитаем $100$ из обеих сторон:

Извлекаем квадратный корень:

Умножаем на 2, чтобы найти $l_{CD}$:

Ответ:

Длина хорды $CD$ равна $48$.