На средней линии трапеции ABCD с основанием AD и BC выбрали произвольную точку К. Докажите, что сумма площадей треугольников ВКС и АКD равна половине площади трапеции.

Давайте решим задачу шаг за шагом.

У нас есть трапеция ABCD, где основания — это отрезки $AD$ и $BC$, причём они не обязательно равны по длине, но параллельны друг другу. Средняя линия этой трапеции — это отрезок $KS$, который соединяет середины боковых сторон $AB$ и $CD$, и точка $K$ находится на этой средней линии. Мы должны доказать, что сумма площадей треугольников $ВКС$ и $АКD$ равна половине площади всей трапеции $ABCD$.

1. Распишем площадь трапеции.

Площадь трапеции $ABCD$ можно выразить через её основания и высоту:

где $AD$ и $BC$ — основания трапеции, а $h$ — высота трапеции (расстояние между основаниями).

2. Что происходит, если на средней линии выбрать точку $K$?

Средняя линия трапеции соединяет середины боковых сторон $AB$ и $CD$, то есть она параллельна основаниям $AD$ и $BC$ и равна их полусумме:

Пусть $K$ — произвольная точка на средней линии трапеции. Тогда проведём отрезки $BK$ и $AK$, которые пересекаются с основанием $AD$ в точке $D$, а отрезок $KS$ будет параллелен отрезку $AD$.

3. Площадь треугольников $ВКС$ и $АКД$

Для того чтобы найти площади треугольников $ВКС$ и $АКД$, обратим внимание на несколько важных моментов:

• Площадь треугольника $ВКС$ рассчитывается по формуле:

Основание этого треугольника — отрезок $BC$, а высота — это расстояние от вершины $K$ до основания $BC$, т.е. проекция высоты трапеции на сторону $BC$.

• Площадь треугольника $АКД$ также рассчитывается по аналогичной формуле:

Основание этого треугольника — отрезок $AD$, а высота — это проекция высоты трапеции на сторону $AD$.

Таким образом, сумма площадей этих двух треугольников будет равна половине площади всей трапеции. Это обосновано тем, что средней линией трапеции делятся два больших треугольника на два меньших.