Девять детей встают в хоровод в случайном порядке. Среди них Серёжа и его сестра Маша. Какова вероятность того, что Серёжа и Маша окажутся рядом?

Чтобы рассчитать вероятность того, что Серёжа и Маша окажутся рядом в хороводе из девяти детей, давайте разберем задачу поэтапно.

1. Общее количество возможных вариантов расстановки детей: Всего детей 9. Они могут стоять в случайном порядке, то есть количество всех возможных перестановок этих детей равно $9!$ (факториал 9):

   $$9! = 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 362880$$

2. Количество благоприятных случаев, когда Серёжа и Маша стоят рядом: Чтобы учесть только те случаи, когда Серёжа и Маша стоят рядом, представим их как пару. Эта пара будет занимать одно место в хороводе. Таким образом, теперь у нас есть 8 "сущностей" для перестановки: пара из Серёжи и Маши (которую можно располагать двумя способами — Серёжа может стоять слева от Маши или наоборот) и остальные 7 детей.

   Количество перестановок этих 8 "сущностей" равно $8!$, а для каждой пары Серёжи и Маши есть 2 возможных расположения (Серёжа слева или справа). Таким образом, количество благоприятных случаев будет равно:

   $$8! \times 2$$

   Вычислим это:

   $$8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 40320$$

   Следовательно, количество благоприятных вариантов:

   $$8! \times 2 = 40320 \times 2 = 80640$$

3. Вероятность того, что Серёжа и Маша окажутся рядом: Теперь вероятность того, что Серёжа и Маша окажутся рядом, равна отношению числа благоприятных случаев к общему числу возможных расстановок:

   $$P = \frac{8! \times 2}{9!} = \frac{80640}{362880}$$

   Упростим это выражение:

   $$P = \frac{80640}{362880} = \frac{2}{9}$$

Таким образом, вероятность того, что Серёжа и Маша окажутся рядом в хороводе, составляет $\frac{2}{9}$.