Нильс летел в стае на спине гуся Мартина. Он обратил внимание что построение стаи напоминает треугольник, впереди вожак, затем 2 гуся, в третьем ряду 3 гуся и т.д. Стая остановилась на ночлег на льдине. Нильс увидел, что расположение гусей на этот раз напоминает квадрат, состоящий из рядов, в каждом ряду одинаковое количество гусей, причем число гусей в каждом ряду равно числу рядов. Гусей в стае меньше 50. Сколько в стае гусей?

Чтобы решить эту задачу, давайте разберемся шаг за шагом.

1. Исходная форма стаи: На старте стая имеет форму треугольника, где:

   • В первом ряду — 1 гусь.
   • Во втором ряду — 2 гуся.
   • В третьем ряду — 3 гуся.
   • И так далее, с увеличением количества гусей в каждом ряду.

   Это означает, что количество гусей в стае по этому строю — это сумма первых $n$ чисел, где $n$ — это количество рядов (где $n$ — число, которое мы должны найти).

   Сумма первых $n$ чисел считается по формуле:

   $$S_n = \frac{n(n+1)}{2}$$

   где $S_n$ — это общее количество гусей в стае.

2. Форма стаи на льдине: Когда стая останавливается на ночлег, ее форма напоминает квадрат, состоящий из одинаковых рядов. То есть, количество гусей в стае можно представить как квадрат числа. Пусть это число будет $m^2$, где $m$ — количество рядов и гусят в каждом ряду.

3. Условие задачи: В стае гусей меньше 50. То есть, общее количество гусей должно быть меньше 50.

Таким образом, нам нужно найти $n$, такое что:

где $m$ — целое число, и $m^2 < 50$.

Решение

1. Рассмотрим возможные значения $m^2$ (квадраты чисел, меньше 50):

   $$1, 4, 9, 16, 25, 36, 49$$

   Эти числа могут быть кандидатами для суммы первых $n$ чисел.

2. Подставим различные значения для $m^2$ в уравнение $\frac{n(n+1)}{2} = m^2$ и проверим, для какого значения $m^2$ это равенство выполняется:

   • Для $m^2 = 1$:

     $$\frac{n(n+1)}{2} = 1 \quad \Rightarrow \quad n(n+1) = 2 \quad \Rightarrow \quad n^2 + n - 2 = 0$$

     Решая это уравнение, получаем $n = 1$, что дает 1 гуся (это не подходит, так как стая должна быть больше).

   • Для $m^2 = 4$:

     $$\frac{n(n+1)}{2} = 4 \quad \Rightarrow \quad n(n+1) = 8 \quad \Rightarrow \quad n^2 + n - 8 = 0$$

     Решая это уравнение, получаем $n = 2$, что дает 3 гусей (это не подходит).

   • Для $m^2 = 9$:

     $$\frac{n(n+1)}{2} = 9 \quad \Rightarrow \quad n(n+1) = 18 \quad \Rightarrow \quad n^2 + n - 18 = 0$$

     Решая это уравнение, получаем $n = 3$, что дает 6 гусей (это тоже не подходит).

   • Для $m^2 = 16$:

     $$\frac{n(n+1)}{2} = 16 \quad \Rightarrow \quad n(n+1) = 32 \quad \Rightarrow \quad n^2 + n - 32 = 0$$

     Решая это уравнение, получаем $n = 4$, что дает 10 гусей (не подходит).

   • Для $m^2 = 25$:

     $$\frac{n(n+1)}{2} = 25 \quad \Rightarrow \quad n(n+1) = 50 \quad \Rightarrow \quad n^2 + n - 50 = 0$$

     Решая это уравнение, получаем $n = 5$, что дает 15 гусей (не подходит).

   • Для $m^2 = 36$:

     $$\frac{n(n+1)}{2} = 36 \quad \Rightarrow \quad n(n+1) = 72 \quad \Rightarrow \quad n^2 + n - 72 = 0$$

     Решая это уравнение, получаем $n = 8$, что дает 36 гусей (подходит!).

   • Для $m^2 = 49$:

     $$\frac{n(n+1)}{2} = 49 \quad \Rightarrow \quad n(n+1) = 98 \quad \Rightarrow \quad n^2 + n - 98 = 0$$