Длины сторон выпуклого многоугольника образуют арифметическую прогрессию с разностью 4. Периметр многоугольника равен 75, а наибольшая сторона равна 23. Сколько сторон имеет данный многоугольник?

Для того чтобы найти количество сторон выпуклого многоугольника, нужно воспользоваться информацией о длинах сторон, их арифметической прогрессии, периметре и наибольшей стороне.

Шаг 1: Обозначения и условия задачи

Обозначим количество сторон многоугольника за $n$. Длины сторон образуют арифметическую прогрессию, то есть, если первая сторона равна $a$, то следующие стороны будут равны: $a + d, a + 2d, \dots, a + (n-1)d,$ где $d$ — разность арифметической прогрессии.

Из условия задачи известно:

1. Периметр многоугольника равен 75.
2. Разность прогрессии $d = 4$.
3. Наибольшая сторона равна 23.

Шаг 2: Периметр многоугольника

Периметр многоугольника — это сумма длин всех его сторон. Так как стороны образуют арифметическую прогрессию, то сумма всех сторон $S$ будет равна:

Это сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии, и она выражается через формулу:

Подставляем известные значения:

Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дроби:

Упростим выражение:

Теперь у нас есть уравнение для периметра многоугольника:

Шаг 3: Наибольшая сторона

Наибольшая сторона в арифметической прогрессии — это последняя сторона, то есть $a + (n-1)d$. Из условия задачи наибольшая сторона равна 23, поэтому:

Это уравнение можно решить для $a$:

Раскроем скобки:

Шаг 4: Подставим выражение для $a$ в уравнение для периметра

Теперь подставим $a = 27 - 4n$ в уравнение для периметра:

Упростим выражение внутри скобок:

Теперь раскроем скобки:

Переносим все на одну сторону:

Упростим уравнение:

Решаем это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

Корни уравнения находятся по формуле:

Таким образом, возможные значения $n$:

Так как количество сторон многоугольника должно быть целым числом, то $n = 5$.

Ответ

Многоугольник имеет 5 сторон.