3. В партии из 20 изделий 4 бракованных. Найти вероятность того, что в выборке из 5 изделий не более одного бракованного.

Задача сводится к вычислению вероятности того, что в выборке из 5 изделий из партии из 20 изделий, из которых 4 бракованные, не окажется более одного бракованного.

Для решения задачи воспользуемся формулой для вероятности событий в гипергеометрическом распределении. Гипергеометрическое распределение применяется в ситуациях, когда мы выбираем элементы без возвращения (т.е. вероятность изменяется после каждого выбора).

Дано:

• Общее количество изделий в партии: 20
• Количество бракованных изделий: 4
• Количество изделий, которое мы выбираем: 5
• Необходимо найти вероятность того, что в выборке будет не более одного бракованного.

Шаги решения:

1. Находим все возможные способы выбрать 5 изделий из 20.
   Общее количество способов выбрать 5 изделий из 20 можно вычислить с помощью биномиального коэффициента:

   $$C(20, 5) = \frac{20!}{5!(20 - 5)!} = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 15504$$

2. Найдем количество способов выбрать 5 изделий так, чтобы в них было 0 или 1 бракованное изделие.

   • Сначала рассмотрим случай, когда в выборке нет бракованных изделий (0 бракованных).
     Для этого нужно выбрать все 5 изделий из 16 исправных (так как из 20 изделий 4 бракованные, значит 16 исправных):

     $$C(16, 5) = \frac{16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 4368$$

   • Теперь рассмотрим случай, когда в выборке ровно 1 бракованное изделие.
     Для этого нужно выбрать 1 бракованное изделие из 4 и 4 исправных изделия из 16:

     $$C(4, 1) \times C(16, 4) = 4 \times \frac{16 \times 15 \times 14 \times 13}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 4 \times 1820 = 7280$$

3. Теперь найдем количество благоприятных исходов.
   Это сумма случаев, когда в выборке 0 или 1 бракованное изделие:

   $$4368 + 7280 = 11648$$

4. Теперь находим вероятность.
   Вероятность того, что в выборке из 5 изделий не будет более одного бракованного, равна отношению количества благоприятных исходов к общему количеству способов выбрать 5 изделий:

   $$P = \frac{11648}{15504} \approx 0.751$$

Ответ:

Вероятность того, что в выборке из 5 изделий не более одного бракованного, составляет примерно 0.751, или 75,1%.