При каких значениях x имеет смысл выражение: а) ⁵√5-x ; б) ⁴√3+x​

Для того, чтобы определить, при каких значениях $x$ имеет смысл выражение, важно помнить основные правила арифметики и алгебры, касающиеся корней. Давайте рассмотрим каждый из ваших примеров:

а) $⁵√{5-x}$

Это выражение представляет собой пятую степень корня из $5-x$. Главное правило здесь заключается в том, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным, поскольку корень пятой степени (как и любой другой степени, кроме четной) определен для всех неотрицательных чисел.

• Необходимо, чтобы $5-x \geq 0$.
• Решая это неравенство, получаем $x \leq 5$.

Таким образом, выражение $⁵√{5-x}$ имеет смысл при $x \leq 5$.

б) $⁴√{3+x}$

Здесь у нас корень четвертой степени из $3+x$. Ключевое отличие корня четвертой степени от корня пятой степени заключается в том, что он определен только для неотрицательных чисел, так как четная степень корня из отрицательного числа не определена.

• Необходимо, чтобы $3+x \geq 0$.
• Решая это неравенство, получаем $x \geq -3$.

Следовательно, выражение $⁴√{3+x}$ имеет смысл при $x \geq -3$.

В обоих случаях мы использовали правило, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным, но ключевое отличие состоит в степени корня: для нечетной степени корень определен для всех неотрицательных чисел, а для четной степени - только для положительных.