В мешочке лежат 300 карточек, на каждой из которых написано ровно одно число от 1 до 300. Азамат и Максат по очереди вытягивают карточки одну за другой, пока мешочек не опустеет. Затем каждый суммирует все числа на своих карточках. Первое число, вытянутое Азаматом, равно 19, а Максатом — 175. На какое наибольшее число сумма Азамата может оказаться больше суммы Максата? Решите задачу с объяснением.

Рассмотрим задачу пошагово.

1. Определим сумму всех чисел в мешочке

В мешочке находятся карточки с числами от 1 до 300. Найдём сумму всех этих чисел:

Формула суммы арифметической прогрессии:

где $n = 300$:

Таким образом, сумма всех чисел на карточках равна 45150.

2. Определим общий порядок вытягивания карт

Азамат начинает первым, затем Максат, потом снова Азамат, и так далее. Так как всего 300 карт, то Азамат вытянет 150 карт, и Максат также вытянет 150 карт.

Обозначим:

• $S_A$ — сумму чисел на карточках Азамата,
• $S_M$ — сумму чисел на карточках Максата.

Так как все числа используются, их суммы связаны:

3. Исходные условия и стратегия максимизации суммы Азамата

Первой карточкой Азамата выпало число 19, а первой карточкой Максата — 175. Это означает, что распределение карт зависит от их порядка.

Азамат хочет максимизировать свою сумму. Он может следовать следующей стратегии:

• Всегда вытягивать как можно большие числа.
• Оставлять Максату как можно меньшие числа.

Так как Азамат берёт 150 карт, а чисел всего 300, он может выбрать 150 наибольших чисел.

4. Сумма наибольших 150 чисел

Наибольшие 150 чисел в диапазоне от 1 до 300 — это числа от 151 до 300.

Используем формулу суммы арифметической прогрессии для этих чисел:

Формула суммы для диапазона от $a$ до $b$:

Подставим:

Посчитаем:

5. Проверка разности

Если Азамат получит 33825, то сумма Максата будет:

Проверим, действительно ли сумма Азамата больше суммы Максата:

6. Ответ

Наибольшее число, на которое сумма Азамата может оказаться больше суммы Максата: