На 12 карточках написаны разные натуральные числа, их сумма равна 84. Маша выложила карточки в порядке возрастания. Чему может быть равна сумма чисел на двух средних карточках? Найдите все возможные ответы.

У нас есть 12 карточек, на каждой из которых написано уникальное натуральное число, и их сумма равна 84. Нам нужно найти возможные значения суммы двух средних чисел в случае, если Маша выложила карточки в порядке возрастания.

Для решения этой задачи определим несколько важных шагов:

1. Обозначим числа на карточках: Пусть числа на карточках — это $a_1, a_2, \dots, a_{12}$, где $a_1 < a_2 < \dots < a_{12}$.

2. Определим средние числа: Поскольку карточек 12 (четное количество), два средних числа будут $a_6$ и $a_7$. Таким образом, нас интересует сумма $a_6 + a_7$.

3. Запишем условие на сумму: Сумма всех чисел на карточках равна 84:

   $$a_1 + a_2 + \dots + a_{12} = 84.$$

4. Поиск минимально возможного набора чисел: Минимальная сумма достигается, если числа на карточках образуют арифметическую последовательность с минимальными значениями. Допустим, что числа идут последовательно (например, от 1 до 12).

   Тогда их сумма:

   $$1 + 2 + \dots + 12 = \frac{12 \times 13}{2} = 78.$$

   Эта сумма меньше 84, что значит, что если мы будем выбирать числа от 1 до 12, то их нужно будет увеличить на определённые значения, чтобы их сумма достигла 84. Например, если мы увеличим одно из чисел, то сумма увеличится, сохраняя упорядоченность.

5. Определение других возможных вариантов: При увеличении некоторых чисел последовательность сохранит возрастание, а сумма тоже изменится.