Монету диаметром 2 см наудачу бросают на шахматную доску, где сторона каждой клетки составляет 3 см. Какова вероятность того, что упавшая монета целиком поместится в одной клетке?

Для того чтобы монета диаметром 2 см полностью помещалась в одной клетке шахматной доски со стороной клетки 3 см, её центр должен находиться в определённой области внутри клетки. Давайте разберем это подробно.

1. Размеры клетки и монеты

• Сторона клетки шахматной доски — 3 см.
• Диаметр монеты — 2 см. Следовательно, радиус монеты равен $R = \frac{2}{2} = 1$ см.

Чтобы монета не пересекала границы клетки, центр монеты должен находиться как минимум на расстоянии $R = 1$ см от всех сторон клетки.

2. Область возможного расположения центра монеты

Если центр монеты должен находиться на расстоянии не менее 1 см от сторон клетки, то внутри клетки образуется область, куда центр монеты может упасть:

• Это будет квадрат, вырезанный из центральной части клетки.
• Сторона этого квадрата будет равна $3 - 2R = 3 - 2 \cdot 1 = 1$ см.

Таким образом, возможная площадь для попадания центра монеты составляет $S_{\text{возможная}} = 1 \cdot 1 = 1$ квадратный сантиметр.

3. Полная площадь клетки

Площадь всей клетки равна $S_{\text{клетки}} = 3 \cdot 3 = 9$ квадратных сантиметров.

4. Вероятность

Так как бросок монеты считается случайным, вероятность того, что её центр окажется в нужной области, равна отношению площади возможной области к полной площади клетки:

Ответ

Вероятность того, что монета диаметром 2 см, упавшая на шахматную доску, полностью поместится в одной клетке, равна $\frac{1}{9}$ или примерно 0.111 (11.1%).