Решить уравнение \(2^x = 3^x\)

Уравнение $2^x = 3^x$ кажется простым, но на самом деле оно требует понимания свойств показательных функций.

Рассмотрим обе части уравнения:

• Левая часть — $2^x$, это возрастающая функция при $x > 0$, убывающая при $x < 0$;

• Правая часть — $3^x$, это также возрастающая функция, но растёт быстрее, чем $2^x$, потому что основание больше.

Чтобы найти $x$, при котором $2^x = 3^x$, заметим, что обе стороны представляют собой степени с разными основаниями. Равенство возможно только тогда, когда сами степени дают одинаковое значение.

Запишем уравнение:

Разделим обе части на $2^x$ (это допустимо, так как $2^x > 0$ при любом $x$):

Теперь получаем новое, более простое уравнение:

А теперь вспоминаем: показатель степени любого положительного числа равен 1 только тогда, когда сама степень равна нулю. То есть:

Ответ: $x = 0$

Это единственное решение, так как функция $\left(\frac{3}{2}\right)^x$ строго возрастающая (при $\frac{3}{2} > 1$), и пересекает значение 1 только один раз — при $x = 0$.