Хотелось свериться с вашим ответом. Неравенство 2^x+3*2^-x<=(меньше или равно)4

Неравенство, о котором идет речь, можно записать следующим образом:

Для того чтобы решить его, давайте применим несколько шагов.

Шаг 1: Подставим новое обозначение

Чтобы упростить выражение, подставим $y = 2^x$. Тогда $2^{-x} = \frac{1}{y}$, и неравенство примет вид:

Шаг 2: Умножим обе части неравенства на $y$

Для избавления от дроби умножим обе части неравенства на $y$, при этом предполагаем, что $y > 0$ (так как $y = 2^x$, а основание степени больше 0). Получаем:

Шаг 3: Переносим все в одну сторону

Переносим все элементы в одну сторону, чтобы получить квадратное неравенство:

Шаг 4: Решаем квадратное неравенство

Теперь решим квадратное неравенство. Для этого сначала найдем дискриминант (D) квадратного уравнения $y^2 - 5y + 3 = 0$:

Так как дискриминант положительный, у уравнения есть два действительных корня. Мы можем найти их по формуле:

Приблизительно:

Теперь нужно исследовать знак выражения $y^2 - 5y + 3$ на интервалах, определяемых корнями $y_1$ и $y_2$. Неравенство $y^2 - 5y + 3 \leq 0$ выполняется для значений $y$ на интервале:

Шаг 5: Переводим обратно в переменную $x$

Помним, что $y = 2^x$. То есть:

Чтобы найти $x$, возьмем логарифм по основанию 2 от обеих частей неравенства:

Приблизительно:

Ответ:

Неравенство $2^x + 3 \cdot 2^{-x} \leq 5$ выполняется при $x \in [-0.514, 2.097]$.