Решите неравенство (x-1)(x-2) дробь (x-3) больше или меньше 0

Рассмотрим неравенство:

1. Определим область допустимых значений. Для начала нужно понять, при каких значениях $x$ выражение определено. Поскольку в знаменателе стоит $x-3$, выражение будет неопределено при $x = 3$. Поэтому $x = 3$ следует исключить из области определения.

2. Разберем знаки числителя и знаменателя. Чтобы понять, когда выражение больше нуля, нужно рассматривать знаки числителя и знаменателя. Числитель — это произведение $(x-1)(x-2)$, а знаменатель — это $x-3$.

3. Найдем критические точки. Критическими точками являются те, при которых числитель и знаменатель равны нулю:

   • Числитель равен нулю, когда $(x-1)(x-2) = 0$, то есть $x = 1$ или $x = 2$.

   • Знаменатель равен нулю, когда $x - 3 = 0$, то есть $x = 3$.

   Таким образом, у нас есть три критические точки: $x = 1$, $x = 2$ и $x = 3$.

4. Построим интервалы. Рассмотрим числа, которые могут попадать в интервалы, образованные этими точками:

   • $(-\infty, 1)$

   • $(1, 2)$

   • $(2, 3)$

   • $(3, +\infty)$

5. Проверим знаки в этих интервалах.

   • Интервал $(-\infty, 1)$: Возьмем $x = 0$. Подставляем в выражение:

     $$\frac{(0-1)(0-2)}{0-3} = \frac{(-1)(-2)}{-3} = \frac{2}{-3} < 0$$

     Следовательно, на этом интервале выражение меньше нуля.

   • Интервал $(1, 2)$: Возьмем $x = 1.5$. Подставляем в выражение:

     $$\frac{(1.5-1)(1.5-2)}{1.5-3} = \frac{(0.5)(-0.5)}{-1.5} = \frac{-0.25}{-1.5} > 0$$

     Следовательно, на этом интервале выражение больше нуля.

   • Интервал $(2, 3)$: Возьмем $x = 2.5$. Подставляем в выражение:

     $$\frac{(2.5-1)(2.5-2)}{2.5-3} = \frac{(1.5)(0.5)}{-0.5} = \frac{0.75}{-0.5} < 0$$

     Следовательно, на этом интервале выражение меньше нуля.

   • Интервал $(3, +\infty)$: Возьмем $x = 4$. Подставляем в выражение:

     $$\frac{(4-1)(4-2)}{4-3} = \frac{(3)(2)}{1} = 6 > 0$$

     Следовательно, на этом интервале выражение больше нуля.

6. Определим решения. Мы ищем, при каких значениях $x$ выражение больше нуля. Из проведенного анализа видно, что выражение больше нуля на интервалах:

   • $(1, 2)$

   • $(3, +\infty)$

7. Итоговое решение. Ответ: $x \in (1, 2) \cup (3, +\infty)$.

То есть $x$ должно лежать в интервалах от 1 до 2 (не включая сами 1 и 2) и от 3 до бесконечности (не включая 3).