Решите уравнение: |x - 1| = |x + 3|

Решим уравнение $|x - 1| = |x + 3|$.

Уравнение с модулями подразумевает, что нам нужно рассмотреть несколько случаев, так как модуль числа всегда равен числу, если оно положительное или равно нулю, и противоположному числу, если оно отрицательное. Таким образом, мы разделим задачу на несколько случаев, в зависимости от знаков выражений внутри модулей.

Рассмотрим три возможных случая:

1. Случай 1: $x - 1 \geq 0$ и $x + 3 \geq 0$ Это означает, что $x \geq 1$. Тогда оба модуля можно убрать, и уравнение примет вид:

   $$x - 1 = x + 3$$

   Упростим:

   $$-1 = 3$$

   Это противоречие, значит, в этом случае нет решений.

2. Случай 2: $x - 1 \geq 0$ и $x + 3 < 0$ В этом случае $x \geq 1$ и $x < -3$, что невозможно одновременно. Следовательно, для таких значений $x$ решений также нет.

3. Случай 3: $x - 1 < 0$ и $x + 3 \geq 0$ Здесь $x < 1$ и $x \geq -3$. То есть $-3 \leq x < 1$. Тогда:

   $$-(x - 1) = x + 3$$

   Упростим:

   $$-x + 1 = x + 3$$

   Переносим все элементы на одну сторону:

   $$1 - 3 = 2x$$ $$-2 = 2x$$ $$x = -1$$

   Это значение $x = -1$ лежит в пределах $-3 \leq x < 1$, поэтому оно является решением уравнения.

4. Случай 4: $x - 1 < 0$ и $x + 3 < 0$ В этом случае $x < 1$ и $x < -3$, то есть $x < -3$. Уравнение будет:

   $$-(x - 1) = -(x + 3)$$

   Упростим:

   $$-x + 1 = -x - 3$$

   Переносим все элементы на одну сторону:

   $$1 = -3$$

   Это противоречие, значит, в этом случае решений нет.

Ответ:

Единственным решением уравнения является $x = -1$.