Решить уравнение: [x-1]+[x-3]=2

Решим уравнение $[x-1] + [x-3] = 2$, где квадратные скобки означают целочисленное (или "функцию от целой части") значение, то есть функции от целых чисел.

Шаг 1: Понимание выражений с целыми частями Целая часть числа — это наибольшее целое число, которое меньше или равно данному числу. Для выражений вида $[x-1]$ и $[x-3]$ это означает, что:

• $[x-1]$ — это целая часть числа $x-1$,

• $[x-3]$ — это целая часть числа $x-3$.

Например, если $x = 2.5$, то $[x-1] = [2.5 - 1] = [1.5] = 1$, а $[x-3] = [2.5 - 3] = [-0.5] = -1$.

Шаг 2: Рассмотрим разные интервалы для $x$

Мы будем рассматривать разные случаи, в зависимости от того, где находится $x$, поскольку целая часть числа зависит от значения $x$.

• Когда $x \in [1, 3)$:
  В этом случае $x-1$ будет в интервале $[0, 2)$, и $[x-1] = 0$. Также $x-3$ будет в интервале $[-2, 0)$, и $[x-3] = -1$. Тогда уравнение превращается в:

  $$[x-1] + [x-3] = 0 + (-1) = -1 \neq 2.$$

  Это не удовлетворяет уравнению.

• Когда $x \in [3, 4)$:
  В этом случае $x-1$ будет в интервале $[2, 3)$, и $[x-1] = 2$. $x-3$ будет в интервале $[0, 1)$, и $[x-3] = 0$. Тогда уравнение превращается в:

  $$[x-1] + [x-3] = 2 + 0 = 2.$$

  Это удовлетворяет уравнению! То есть, $x \in [3, 4)$ — это решение.

• Когда $x \in [4, 5)$:
  В этом случае $x-1$ будет в интервале $[3, 4)$, и $[x-1] = 3$. $x-3$ будет в интервале $[1, 2)$, и $[x-3] = 1$. Тогда уравнение превращается в:

  $$[x-1] + [x-3] = 3 + 1 = 4 \neq 2.$$

  Это не удовлетворяет уравнению.

Шаг 3: Вывод

Единственное решение, которое удовлетворяет уравнению $[x-1] + [x-3] = 2$, — это $x \in [3, 4)$.