|x-1|+|x-2|=3 решите уравнение

Для того чтобы решить уравнение $|x - 1| + |x - 2| = 3$, нужно учесть, что абсолютные значения могут быть различными в зависимости от того, какое значение принимает $x$. Разделим решение на несколько случаев, учитывая точки разрыва для абсолютных значений, а именно $x = 1$ и $x = 2$.

Шаг 1: Разделим на интервалы

У нас есть две абсолютные величины, $|x - 1|$ и $|x - 2|$, которые могут по-разному себя вести в зависимости от значения $x$. Рассмотрим три случая для $x$, разделённые точками 1 и 2:

1. $x \leq 1$

2. $1 < x \leq 2$

3. $x > 2$

Шаг 2: Решение для каждого случая

1. Когда $x \leq 1$:

• В этом случае, $|x - 1| = 1 - x$ и $|x - 2| = 2 - x$, так как обе величины будут положительными.

  Уравнение становится:

  $$(1 - x) + (2 - x) = 3$$

  Упростим его:

  $$3 - 2x = 3$$

  Отнимаем 3 с обеих сторон:

  $$-2x = 0$$

  Решаем для $x$:

  $$x = 0$$

  Поскольку $x = 0$ лежит в интервале $x \leq 1$, это решение подходит.

2. Когда $1 < x \leq 2$:

• В этом случае, $|x - 1| = x - 1$ и $|x - 2| = 2 - x$.

  Уравнение становится:

  $$(x - 1) + (2 - x) = 3$$

  Упростим его:

  $$1 = 3$$

  Это противоречие, значит, в этом интервале решения нет.

3. Когда $x > 2$:

• В этом случае, $|x - 1| = x - 1$ и $|x - 2| = x - 2$.

  Уравнение становится:

  $$(x - 1) + (x - 2) = 3$$

  Упростим его:

  $$2x - 3 = 3$$

  Прибавляем 3 к обеим частям:

  $$2x = 6$$

  Решаем для $x$:

  $$x = 3$$

  Поскольку $x = 3$ лежит в интервале $x > 2$, это решение тоже подходит.

Шаг 3: Ответ

Таким образом, у нас два решения:

• $x = 0$

• $x = 3$

Ответ: $x = 0$ и $x = 3$.