(x-1)(x-3)(x-5)>0 с объяснением.

Решим неравенство $(x - 1)(x - 3)(x - 5) > 0$ пошагово.

Шаг 1. Найдем корни этого неравенства

Мы видим, что неравенство состоит из произведения трех выражений: $(x - 1)$, $(x - 3)$, $(x - 5)$. Это произведение больше нуля, значит, все три множителя должны либо быть положительными, либо два из них должны быть отрицательными (тогда произведение будет положительным).

Корни этих выражений — это те значения $x$, при которых каждое из выражений равно нулю. То есть:

• $x - 1 = 0$ при $x = 1$,

• $x - 3 = 0$ при $x = 3$,

• $x - 5 = 0$ при $x = 5$.

Таким образом, корни у нас — $x = 1$, $x = 3$, и $x = 5$.

Шаг 2. Разделим числовую ось на интервалы

Поскольку у нас есть три корня, мы делим числовую ось на 4 интервала:

• $(-\infty, 1)$,

• $(1, 3)$,

• $(3, 5)$,

• $(5, +\infty)$.

Теперь будем исследовать знак выражения $(x - 1)(x - 3)(x - 5)$ на каждом интервале.

Шаг 3. Проверим знак выражения на каждом интервале

Для этого подставим в выражение $(x - 1)(x - 3)(x - 5)$ значения $x$ из каждого интервала и определим знак.

1. На интервале $(-∞, 1)$, возьмем, например, $x = 0$:

   • $x - 1 = 0 - 1 = -1$,

   • $x - 3 = 0 - 3 = -3$,

   • $x - 5 = 0 - 5 = -5$.

   Все три множителя отрицательны, и произведение отрицательных чисел дает отрицательное число. Значит, на интервале $(-∞, 1)$ выражение отрицательно.

2. На интервале $(1, 3)$, возьмем, например, $x = 2$:

   • $x - 1 = 2 - 1 = 1$,

   • $x - 3 = 2 - 3 = -1$,

   • $x - 5 = 2 - 5 = -3$.

   Один множитель положителен, а два отрицательны, то есть произведение отрицательно. Значит, на интервале $(1, 3)$ выражение отрицательно.

3. На интервале $(3, 5)$, возьмем, например, $x = 4$:

   • $x - 1 = 4 - 1 = 3$,

   • $x - 3 = 4 - 3 = 1$,

   • $x - 5 = 4 - 5 = -1$.

   Два множителя положительны, а один отрицателен, значит, произведение отрицательно. Значит, на интервале $(3, 5)$ выражение отрицательно.

4. На интервале $(5, +∞)$, возьмем, например, $x = 6$:

   • $x - 1 = 6 - 1 = 5$,

   • $x - 3 = 6 - 3 = 3$,

   • $x - 5 = 6 - 5 = 1$.

   Все три множителя положительны, значит, произведение положительно. Значит, на интервале $(5, +∞)$ выражение положительно.

Шаг 4. Учитываем знаки на концах интервалов

Теперь определим, что происходит на самих точках $x = 1$, $x = 3$, и $x = 5$:

• При $x = 1$, выражение $(x - 1)(x - 3)(x - 5)$ равно $0$, так как один из множителей равен нулю. То же самое происходит при $x = 3$ и $x = 5$.

Шаг 5. Составляем итоговое решение

Мы ищем, когда произведение больше нуля. Это происходит только на интервале $(5, +∞)$, потому что на других интервалах произведение либо отрицательное, либо равно нулю на концах интервалов.

Ответ: $x \in (5, +∞)$.