Найти координаты единичного вектора, перпендикулярного к плоскости A(1,-1,4), B(2,5,1), C(2,1,1).

Чтобы найти координаты единичного вектора, перпендикулярного к плоскости, определённой точками A(1,-1,4), B(2,5,1) и C(2,1,1), нужно выполнить несколько шагов.

1. Найдите векторы, лежащие в плоскости: Сначала определяем векторы AB и AC. Вектор AB можно найти, вычитая координаты точки A из координат точки B. Аналогично вычисляется вектор AC.

   AB = B - A = (2 - 1, 5 - (-1), 1 - 4) = (1, 6, -3) AC = C - A = (2 - 1, 1 - (-1), 1 - 4) = (1, 2, -3)

2. Найдите векторное произведение этих векторов: Векторное произведение векторов AB и AC даст нам вектор, перпендикулярный плоскости ABC.

   Векторное произведение $\vec{AB} \times \vec{AC}$ вычисляется по формуле:

   $$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & 6 & -3 \\ 1 & 2 & -3 \end{vmatrix}$$

   Где $i$, $j$, и $k$ - единичные векторы вдоль осей x, y и z соответственно.

3. Вычислите векторное произведение: Для этого раскроем определитель:

   $$\vec{AB} \times \vec{AC} = i(6 \cdot (-3) - (-3) \cdot 2) - j(1 \cdot (-3) - (-3) \cdot 1) + k(1 \cdot 2 - 6 \cdot 1)$$
   $$= i(-18 + 6) - j(-3 + 3) + k(2 - 6)$$
   $$= -12i - 0j - 4k$$

   Таким образом, векторное произведение равно $(-12, 0, -4)$.

4. Нормализуйте полученный вектор: Чтобы получить единичный вектор, нужно нормализовать векторное произведение. Для этого найдем его длину (норму) и разделим каждую компоненту вектора на эту длину.

   Длина вектора $\vec{v} = (-12, 0, -4)$ вычисляется по формуле:

   $$\|\vec{v}\| = \sqrt{(-12)^2 + 0^2 + (-4)^2}$$

   Выполним вычисления:

   $$\|\vec{v}\| = \sqrt{144 + 0 + 16} = \sqrt{160}$$

   Теперь разделим каждую компоненту вектора на $\sqrt{160}$:

   $$\text{Единичный вектор} = \left(\frac{-12}{\sqrt{160}}, \frac{0}{\sqrt{160}}, \frac{-4}{\sqrt{160}}\right)$$

   Это и будет искомый единичный вектор, перпендикулярный плоскости ABC.

Давайте проведем эти вычисления.

Итак, координаты единичного вектора, перпендикулярного плоскости, определённой точками A(1,-1,4), B(2,5,1) и C(2,1,1), равны приблизительно $(-0.95, 0, -0.32)$. Этот вектор является нормализованным векторным произведением векторов AB и AC, что означает, что он перпендикулярен плоскости, образованной данными точками. ​​