Сократите дробь: (3x^2 + x - 2) / (4 - 9x^2), то есть в числителе — квадратный трёхчлен, а в знаменателе — разность квадратов двух чисел.

Чтобы сократить дробь

нужно разложить числитель и знаменатель на множители, а затем сократить общие множители, если они есть.

Шаг 1: Разложим знаменатель

В знаменателе у нас выражение:

а это — разность квадратов, которая раскладывается по формуле:

Здесь:

Значит:

Шаг 2: Разложим числитель

Теперь рассмотрим трёхчлен в числителе:

Нужно разложить его на множители. Для этого найдём такие два числа, произведение которых равно $3 \cdot (-2) = -6$, а сумма — коэффициент при $x$, то есть $1$.

Такие числа: $3$ и $-2$, потому что $3 \cdot (-2) = -6$, и $3 + (-2) = 1$.

Разбиваем средний член:

Группируем и выносим общий множитель:

Теперь выносим общий множитель $x + 1$:

Шаг 3: Подставим разложения обратно в дробь

Теперь дробь выглядит так:

Шаг 4: Упростим знаменатель

Обратим внимание, что выражение $2 - 3x$ можно переписать как $-(3x - 2)$. Почему? Потому что:

Тогда:

Шаг 5: Сократим дробь

Теперь дробь примет вид:

Сокращаем на общий множитель $3x - 2$ (при условии, что $x \ne \frac{2}{3}$, чтобы не делить на ноль):

Теперь можно записать ответ чуть красивее, убрав минус из знаменателя:

Итог:

Сокращённая форма дроби:

при условии, что $x \ne \frac{2}{3}$ и $x \ne -\frac{2}{3}$ (исключаем значения, при которых знаменатель обращается в ноль).

Хочешь, чтобы я показал это в виде схемы или с подпунктами по шагам?