(под корнем) 6+x-x^2=1-x

Ответы на вопрос

Отвечает Аникин Лёха.

Рассмотрим уравнение:

\sqrt{6 + x - x^2} = 1 - x

Шаг 1: Область определения (ОДЗ)

Корень квадратный определён только для неотрицательных чисел, а также правую часть нужно учитывать (она должна быть неотрицательной, чтобы левая часть могла быть равна ей).

Подкоренное выражение должно быть неотрицательно:

6 + x - x^2 \geq 0

Правая часть (1 - x) должна быть неотрицательной:

1 - x \geq 0 \Rightarrow x \leq 1

Рассмотрим первое неравенство:

6 + x - x^2 = -x^2 + x + 6 \geq 0

Решим это квадратное неравенство. Найдём корни квадратного трёхчлена:

-x^2 + x + 6 = 0 \Rightarrow x^2 - x - 6 = 0

D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 \Rightarrow x = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{1 \pm 5}{2} \Rightarrow x = 3 \text{ или } x = -2

Так как ветви параболы направлены вниз (при $-x^2$ ), неравенство выполняется на промежутке:

x \in [-2, 3]

Учитывая также $x \leq 1$ , окончательная область допустимых значений:

x \in [-2, 1]

Шаг 2: Решение уравнения

Теперь возведём обе части уравнения в квадрат:

(\sqrt{6 + x - x^2})^2 = (1 - x)^2 \Rightarrow 6 + x - x^2 = 1 - 2x + x^2

Переносим всё в одну сторону:

6 + x - x^2 - 1 + 2x - x^2 = 0 \Rightarrow (6 - 1) + (x + 2x) - (x^2 + x^2) = 0 \Rightarrow 5 + 3x - 2x^2 = 0 \Rightarrow -2x^2 + 3x + 5 = 0 \Rightarrow 2x^2 - 3x - 5 = 0

Решим это уравнение:

D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49 \Rightarrow x = \frac{3 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm 7}{4}

x = \frac{10}{4} = 2.5 \quad \text{или} \quad x = \frac{-4}{4} = -1

Проверим, какие из этих значений входят в ОДЗ: $x \in [-2, 1]$

$x = 2.5 \notin [-2, 1]$ — не подходит
$x = -1 \in [-2, 1]$ — подходит

Проверим, действительно ли $x = -1$ удовлетворяет исходному уравнению:

\sqrt{6 + (-1) - (-1)^2} = \sqrt{6 - 1 - 1} = \sqrt{4} = 2

Последние заданные вопросы в категории Математика

Ответы на вопрос

Шаг 1: Область определения (ОДЗ)

Шаг 2: Решение уравнения

Похожие вопросы

Топ вопросов за вчера в категории Математика

Последние заданные вопросы в категории Математика