Решить уравнение. (х-3)(2х+3) меньше -7

Чтобы решить неравенство $(x - 3)(2x + 3) < -7$, следуем пошагово.

1. Раскроем скобки.

   Для начала раскроем скобки в левой части неравенства:

   $$(x - 3)(2x + 3) = x(2x + 3) - 3(2x + 3)$$

   Выполним умножение:

   $$x(2x + 3) = 2x^2 + 3x$$ $$-3(2x + 3) = -6x - 9$$

   Теперь подставим эти выражения в исходное неравенство:

   $$2x^2 + 3x - 6x - 9 < -7$$

   Упростим:

   $$2x^2 - 3x - 9 < -7$$

2. Переносим все в одну сторону.

   Добавим 7 к обеим частям неравенства:

   $$2x^2 - 3x - 9 + 7 < 0$$

   Упростим:

   $$2x^2 - 3x - 2 < 0$$

3. Решаем квадратное неравенство.

   Для того чтобы решить неравенство $2x^2 - 3x - 2 < 0$, найдем его корни. Для этого используем формулу дискриминанта для квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

   Здесь $a = 2$, $b = -3$, $c = -2$.

   Сначала находим дискриминант:

   $$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$$

   Теперь находим корни уравнения:

   $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm 5}{4}$$

   Таким образом, корни уравнения:

   $$x_1 = \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2$$ $$x_2 = \frac{3 - 5}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$$

4. Анализируем знак выражения $2x^2 - 3x - 2$.

   Мы знаем, что выражение $2x^2 - 3x - 2$ — это парабола, открывающаяся вверх (так как коэффициент при $x^2$ положительный). Парабола пересекает ось $x$ в точках $x = 2$ и $x = -\frac{1}{2}$. Так как нам нужно, чтобы выражение было меньше нуля, то это происходит на интервале между корнями, то есть на интервале $-\frac{1}{2} < x < 2$.

5. Ответ.

   Решением неравенства $(x - 3)(2x + 3) < -7$ является промежуток:

   $$-\frac{1}{2} < x < 2$$