Найти производную второго порядка от функции \( y = \cos^2 x \).

Рассмотрим функцию $y = \cos^2 x$. Это означает, что $y = (\cos x)^2$. Чтобы найти производную второго порядка, сначала найдём первую производную, а затем уже от неё — вторую.

Шаг 1: Найдём первую производную $y'$

Используем правило производной сложной функции. Пусть $u = \cos x$, тогда $y = u^2$, и по правилу:

Подставим обратно $u = \cos x$ и $\frac{du}{dx} = -\sin x$:

Можно записать это как:

(так как $\sin(2x) = 2 \sin x \cos x$).

Шаг 2: Найдём вторую производную $y''$

Теперь найдём производную от $y' = -\sin(2x)$. Применим производную от синуса:

Ответ:

Это и есть вторая производная от функции $y = \cos^2 x$.