3. Обратите периодические десятичные дроби в обыкновенные: а) 0,(72); б) 0,(918); в) 0,11(6).
​

Для преобразования периодических десятичных дробей в обыкновенные дроби используется математический метод. Давайте рассмотрим каждый из предложенных примеров по очереди:

а) 0,(72)

1. Обозначим данную дробь как $x$. Тогда $x = 0.7272...$
2. Так как повторяющаяся часть состоит из двух цифр (72), умножим $x$ на 100, чтобы получить повторяющиеся цифры перед запятой: $100x = 72.7272...$
3. Теперь у нас есть система уравнений: $x = 0.7272...$ $100x = 72.7272...$
4. Вычтем первое уравнение из второго: $100x - x = 72.7272... - 0.7272...$, что дает нам $99x = 72$
5. Решим для $x$: $x = \frac{72}{99}$
6. Упростим дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель (НОД), который в данном случае равен 9: $x = \frac{8}{11}$

Итак, $0.(72) = \frac{8}{11}$.

б) 0,(918)

1. Пусть $y = 0.918918...$
2. Умножим $y$ на 1000 (так как у нас три повторяющиеся цифры): $1000y = 918.918...$
3. Теперь у нас есть система уравнений: $y = 0.918918...$ $1000y = 918.918...$
4. Вычтем первое уравнение из второго: $1000y - y = 918.918... - 0.918...$, что дает $999y = 918$
5. Решим для $y$: $y = \frac{918}{999}$
6. Упростим дробь. НОД для 918 и 999 равен 9: $y = \frac{102}{111}$

Таким образом, $0.(918) = \frac{102}{111}$.

в) 0,11(6)

Этот случай немного сложнее, так как у нас есть не повторяющаяся часть (11) и повторяющаяся часть (6).

1. Пусть $z = 0.11666...$
2. Сначала мы умножим $z$ на 10, чтобы переместить не повторяющуюся часть перед запятой: $10z = 1.1666...$
3. Теперь умножим $z$ на 1000, чтобы переместить повторяющуюся часть перед запятой: $1000z = 116.666...$
4. Используем эти уравнения: $10z = 1.1666...$ $1000z = 116.666...$
5. Вычтем первое уравнение из второго: $1000z - 10z = 116.666... - 1.1666...$, что дает $990z = 115.5$
6. Решим для $z$: $z = \frac{115.5}{990}$
7. Упростим дробь. НОД для 1155 и 9900 равен 45: $z = \frac{1155}{9900} = \frac{77}{660}$

Следовательно, $0,11(6) = \frac{77}{660}$.