Найдите все корни уравнения \((x^2-1)^2 - (x^2-1) - 6 = 0\).

Давайте решим уравнение $(x^2-1)^2 - (x^2-1) - 6 = 0$.

1. Подстановка переменной:

   Обозначим $y = x^2 - 1$. Тогда уравнение примет вид:

   $$y^2 - y - 6 = 0$$

2. Решение квадратного уравнения:

   Мы имеем стандартное квадратное уравнение $y^2 - y - 6 = 0$. Чтобы решить его, воспользуемся формулой для решения квадратных уравнений:

   $$y = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1}$$ $$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$$ $$y = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2}$$ $$y = \frac{1 \pm 5}{2}$$

   Таким образом, получаем два возможных значения для $y$:

   $$y = \frac{1 + 5}{2} = 3 \quad \text{или} \quad y = \frac{1 - 5}{2} = -2$$

3. Возвращаемся к переменной $x$:

   Напоминаем, что $y = x^2 - 1$. Поэтому у нас есть два случая:

   • Для $y = 3$:

     $$x^2 - 1 = 3 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 2$$

   • Для $y = -2$:

     $$x^2 - 1 = -2 \quad \Rightarrow \quad x^2 = -1$$

     Такое уравнение не имеет вещественных решений, так как квадрат любого вещественного числа не может быть отрицательным.

4. Ответ:

   Таким образом, единственные вещественные корни уравнения — это $x = 2$ и $x = -2$.