Решите уравнение \(2x^3 + 7x^2 + 7x + 2 = 0\).

Для решения уравнения $2x^3 + 7x^2 + 7x + 2 = 0$ можно воспользоваться методом подбора рациональных корней с использованием теоремы о возможных рациональных корнях, а затем, если получится, разделить исходное уравнение на линейный множитель. Давайте пошагово решим его.

Шаг 1. Проверка рациональных корней

Сначала применим теорему о рациональных корнях, которая говорит, что возможные рациональные корни уравнения вида $a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0 = 0$ могут быть представлены в виде $\frac{p}{q}$, где $p$ — это делители свободного члена $a_0$, а $q$ — это делители старшего коэффициента $a_n$.

В нашем случае уравнение $2x^3 + 7x^2 + 7x + 2 = 0$, где:

• $a_0 = 2$ (свободный член),

• $a_3 = 2$ (коэффициент при $x^3$).

Тогда возможные рациональные корни могут быть следующими: $\pm 1, \pm 2, \pm \frac{1}{2}$.

Шаг 2. Подбор корней

Теперь подставим эти значения в исходное уравнение и проверим, какой из них является корнем.

1. Подставляем $x = -1$:

   $$2(-1)^3 + 7(-1)^2 + 7(-1) + 2 = -2 + 7 - 7 + 2 = 0.$$

   Таким образом, $x = -1$ является корнем уравнения.

Шаг 3. Разделение уравнения

Так как $x = -1$ является корнем, то $x + 1$ является множителем исходного уравнения. Мы теперь можем разделить исходное уравнение на $x + 1$ с использованием деления многочленов.

Делим $2x^3 + 7x^2 + 7x + 2$ на $x + 1$ методом деления столбиком.

• Разделим $2x^3$ на $x$, получаем $2x^2$.

• Умножим $2x^2$ на $x + 1$, получаем $2x^3 + 2x^2$.

• Вычитаем из исходного многочлена: $(2x^3 + 7x^2 + 7x + 2) - (2x^3 + 2x^2) = 5x^2 + 7x + 2$.

• Разделим $5x^2$ на $x$, получаем $5x$.

• Умножим $5x$ на $x + 1$, получаем $5x^2 + 5x$.

• Вычитаем: $(5x^2 + 7x + 2) - (5x^2 + 5x) = 2x + 2$.

• Разделим $2x$ на $x$, получаем $2$.

• Умножим $2$ на $x + 1$, получаем $2x + 2$.

• Вычитаем: $(2x + 2) - (2x + 2) = 0$.

Получили, что $2x^3 + 7x^2 + 7x + 2 = (x + 1)(2x^2 + 5x + 2)$.

Шаг 4. Решение квадратного уравнения

Теперь решим квадратное уравнение $2x^2 + 5x + 2 = 0$ с помощью формулы для нахождения корней квадратного уравнения: