Решите уравнение \( x^3 + 3x^2 - x - 3 = 0 \).

Чтобы решить уравнение $x^3 + 3x^2 - x - 3 = 0$, начнем с того, что попытаемся упростить его с помощью метода подбора возможных корней.

1. Попробуем применить метод подбора целых корней. Для этого используем теорему о возможных целых корнях. Согласно этой теореме, целые корни уравнения $a_n x^n + \dots + a_1 x + a_0 = 0$ должны быть делителями свободного члена (в данном случае $-3$) и делителями ведущего коэффициента (в данном случае $1$).

   Свободный член у нас $-3$, его делители: $\pm 1, \pm 3$. Ведущий коэффициент равен 1, его делители: $\pm 1$.

   Таким образом, возможные целые корни: $\pm 1, \pm 3$.

2. Проверим, является ли $x = 1$ корнем уравнения.
   Подставим $x = 1$ в уравнение:

   $$1^3 + 3(1)^2 - 1 - 3 = 1 + 3 - 1 - 3 = 0.$$

   Таким образом, $x = 1$ является корнем уравнения.

3. Разделим полином $x^3 + 3x^2 - x - 3$ на $x - 1$. Для этого используем деление многочленов.

   Разделим $x^3 + 3x^2 - x - 3$ на $x - 1$. Применим схему деления:

   $$\begin{array}{r|l} x - 1 & x^3 + 3x^2 - x - 3 \\ \hline & x^2 \\ & x^3 - x^2 \\ \hline & 4x^2 - x \\ & 4x \\ & 4x^2 - 4x \\ \hline & 3x - 3 \\ & 3 \\ & 3x - 3 \\ \hline & 0 \end{array}$$

   Остатка нет, и результат деления — $x^2 + 4x + 3$.

4. Решим квадратное уравнение $x^2 + 4x + 3 = 0$. Для этого используем формулу решения квадратного уравнения:

   $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},$$

   где $a = 1$, $b = 4$, $c = 3$. Подставим значения:

   $$x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{-4 \pm 2}{2}.$$

   Таким образом, два корня:

   $$x = \frac{-4 + 2}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \quad \text{и} \quad x = \frac{-4 - 2}{2} = \frac{-6}{2} = -3.$$

5. Ответ. Корни уравнения $x^3 + 3x^2 - x - 3 = 0$ — это $x = 1$