решите уравнение: sin2x + 2cos²x = 0

Для того чтобы решить уравнение $\sin(2x) + 2\cos^2(x) = 0$, следуем следующим шагам:

1. Используем формулу для удвоенного угла синуса: $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$. Подставим это в исходное уравнение:

   $$2\sin(x)\cos(x) + 2\cos^2(x) = 0$$

2. Вынесем общий множитель $2\cos(x)$ за скобки:

   $$2\cos(x)(\sin(x) + \cos(x)) = 0$$

3. Теперь у нас есть произведение двух множителей. Это произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

   • $2\cos(x) = 0$

   • $\sin(x) + \cos(x) = 0$

4. Решим первый случай $2\cos(x) = 0$. Это означает, что $\cos(x) = 0$. Значения $x$, при которых $\cos(x) = 0$, это:

   $$x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$

5. Теперь решим второй случай $\sin(x) + \cos(x) = 0$. Перепишем его как:

   $$\sin(x) = -\cos(x)$$

   Разделим обе части на $\cos(x)$ (предполагаем, что $\cos(x) \neq 0$):

   $$\frac{\sin(x)}{\cos(x)} = -1$$

   Это означает, что $\tan(x) = -1$. Значения $x$, при которых $\tan(x) = -1$, это:

   $$x = \frac{3\pi}{4} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$

6. Таким образом, окончательное решение уравнения:

   $$x = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{3\pi}{4} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$