4^x-5*2^x+4=0 решение уравнений

Чтобы решить уравнение $4^x - 5 \cdot 2^x + 4 = 0$, начнем с преобразования его в более удобный вид. Обратите внимание, что $4^x$ можно записать как $(2^2)^x$, что равно $2^{2x}$. Это позволяет упростить уравнение.

Таким образом, уравнение $4^x - 5 \cdot 2^x + 4 = 0$ превращается в:

Теперь введем замену: пусть $y = 2^x$. Тогда $2^{2x} = y^2$, и уравнение примет вид:

Это квадратное уравнение относительно $y$. Решим его с помощью формулы для корней квадратного уравнения $ay^2 + by + c = 0$, где корни находятся по формуле:

Подставим в формулу коэффициенты $a = 1$, $b = -5$, и $c = 4$:

Таким образом, получаем два возможных значения для $y$:

1. $y = \frac{5 + 3}{2} = \frac{8}{2} = 4$,

2. $y = \frac{5 - 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

Теперь, вспоминая, что $y = 2^x$, решаем для каждого случая:

1. Если $2^x = 4$, то $x = 2$, так как $2^2 = 4$.

2. Если $2^x = 1$, то $x = 0$, так как $2^0 = 1$.

Итак, решения уравнения: $x = 2$ и $x = 0$.