Решите уравнение: (x - 1)(x² + 4x + 4) = 4(x + 2)

Ответы на вопрос

Отвечает Давыд Кирилл.

Для решения уравнения $(x - 1)(x^2 + 4x + 4) = 4(x + 2)$ , давайте разберемся шаг за шагом.

(x - 1)(x^2 + 4x + 4) = x(x^2 + 4x + 4) - 1(x^2 + 4x + 4)

Выполним умножение:

x(x^2 + 4x + 4) = x^3 + 4x^2 + 4x

-1(x^2 + 4x + 4) = -x^2 - 4x - 4

Теперь сложим все эти выражения:

x^3 + 4x^2 + 4x - x^2 - 4x - 4 = x^3 + (4x^2 - x^2) + (4x - 4x) - 4 = x^3 + 3x^2 - 4

Таким образом, левая часть уравнения преобразуется в:

x^3 + 3x^2 - 4

x^3 + 3x^2 - 4 = 4(x + 2)

Теперь раскроем скобки в правой части уравнения:

4(x + 2) = 4x + 8

Получаем уравнение:

x^3 + 3x^2 - 4 = 4x + 8

x^3 + 3x^2 - 4 - 4x - 8 = 0

Упрощаем:

x^3 + 3x^2 - 4x - 12 = 0

Теперь попробуем решить это кубическое уравнение. Для этого можно воспользоваться методом подбора, чтобы найти хотя бы один корень. Подставим разные значения $x$ , чтобы проверить, какой из них является корнем.

Подставим $x = -2$ :

(-2)^3 + 3(-2)^2 - 4(-2) - 12 = -8 + 12 + 8 - 12 = 0

Мы нашли, что $x = -2$ является корнем.

Теперь, зная, что $x = -2$ является корнем, можем разделить кубическое выражение на $(x + 2)$ . Для этого используем деление многочленов. Разделим $x^3 + 3x^2 - 4x - 12$ на $x + 2$ .

После деления получим:

x^3 + 3x^2 - 4x - 12 = (x + 2)(x^2 + x - 6)

Теперь решим квадратное уравнение $x^2 + x - 6 = 0$ . Для этого используем формулу дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(-6) = 1 + 24 = 25

Корни уравнения:

x = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2(1)} = \frac{-1 \pm 5}{2}

Таким образом, получаем два корня:

x = \frac{-1 + 5}{2} = 2 \quad \text{и} \quad x = \frac{-1 - 5}{2} = -3

Ответы на вопрос