Решите уравнение (1/3)^x + 3^(x+3) = 12.

Для того чтобы решить уравнение $\left(\frac{1}{3}\right)^x + 3^{x+3} = 12$, начнем с преобразования выражений и использования свойств степеней.

Шаг 1. Преобразование первого слагаемого

Запишем выражение $\left(\frac{1}{3}\right)^x$ как $3^{-x}$, используя правило для степеней:

Теперь уравнение будет выглядеть так:

Шаг 2. Преобразование второго слагаемого

В выражении $3^{x+3}$ можно разделить степень на произведение:

Таким образом, уравнение примет вид:

Шаг 3. Введение новой переменной

Для удобства введем новую переменную $y = 3^x$. Тогда $3^{-x} = \frac{1}{y}$. Подставим это в уравнение:

Шаг 4. Умножение на $y$

Умножим обе части уравнения на $y$, чтобы избавиться от дроби:

Шаг 5. Преобразование в квадратное уравнение

Переносим все члены на одну сторону:

Теперь у нас квадратное уравнение относительно $y$.

Шаг 6. Решение квадратного уравнения

Решим это уравнение с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

Для уравнения $27y^2 - 12y + 1 = 0$ коэффициенты следующие: $a = 27$, $b = -12$, $c = 1$. Подставим их в формулу:

Таким образом, получаем два корня:

Шаг 7. Возвращение к переменной $x$

Теперь, используя $y = 3^x$, получаем два случая:

1. $3^x = \frac{1}{3}$, что означает $x = -1$.

2. $3^x = \frac{1}{9}$