{3x+2y=1 {2x-y=3 тремя способами

Для решения системы уравнений:

сначала рассмотрим три метода:

1. Метод подстановки

1. Из второго уравнения выразим $y$:

   $$2x - y = 3 \implies y = 2x - 3$$

2. Подставим выражение для $y$ в первое уравнение:

   $$3x + 2(2x - 3) = 1$$

   Упростим:

   $$3x + 4x - 6 = 1 \implies 7x - 6 = 1 \implies 7x = 7 \implies x = 1$$

3. Теперь, подставив $x = 1$ в выражение для $y$:

   $$y = 2(1) - 3 = 2 - 3 = -1$$

Ответ: $x = 1$, $y = -1$.

2. Метод исключения

1. Умножим второе уравнение на 2, чтобы коэффициенты при $y$ были одинаковыми:

   $$2(2x - y = 3) \implies 4x - 2y = 6$$

2. Теперь сложим первое и полученное уравнение:

   $$(3x + 2y) + (4x - 2y) = 1 + 6$$

   Это даст:

   $$7x = 7 \implies x = 1$$

3. Подставим $x = 1$ в одно из исходных уравнений, например, во второе:

   $$2(1) - y = 3 \implies 2 - y = 3 \implies y = -1$$

Ответ: $x = 1$, $y = -1$.

3. Метод матриц

1. Преобразуем систему уравнений в матричную форму:

   $$\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$$

2. Найдем обратную матрицу для матрицы коэффициентов. Обратная матрица для матрицы $A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$ вычисляется по формуле:

   $$A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}$$

   где $\text{det}(A) = 3(-1) - 2(2) = -3 - 4 = -7$.

   Таким образом, обратная матрица:

   $$A^{-1} = \frac{1}{-7} \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{7} & \frac{2}{7} \\ \frac{2}{7} & \frac{-3}{7} \end{pmatrix}$$

3. Теперь умножим обратную матрицу на вектор правых частей системы:

   $$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{7} & \frac{2}{7} \\ \frac{2}{7} & \frac{-3}{7} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$$