Уравнение касательной к графику функции \( y = x - \frac{3}{x} + 4 \) в точке с абсциссой \( x_0 = -3 \) имеет вид

Чтобы найти уравнение касательной к графику функции $y = x - \frac{3}{x} + 4$ в точке с абсциссой $x_0 = -3$, нужно выполнить несколько шагов.

1. Найдем производную функции

Для того чтобы найти касательную, нужно вычислить производную функции, так как производная в точке $x_0$ дает угловой коэффициент касательной.

Функция $y = x - \frac{3}{x} + 4$.

Рассмотрим каждый член по отдельности:

• Производная от $x$ равна 1.

• Производная от $-\frac{3}{x}$ — это $3x^{-2}$, то есть $\frac{6}{x^2}$.

• Производная от константы 4 равна 0.

Таким образом, производная функции будет:

2. Находим значение производной в точке $x_0 = -3$

Теперь подставим $x_0 = -3$ в выражение для производной:

Таким образом, угловой коэффициент касательной в точке $x_0 = -3$ равен $\frac{5}{3}$.

3. Находим значение функции в точке $x_0 = -3$

Теперь вычислим значение функции в точке $x_0 = -3$:

Таким образом, точка касания на графике имеет координаты $(-3, 2)$.

4. Записываем уравнение касательной

Уравнение касательной к графику функции в точке $(x_0, y_0)$ имеет вид:

где $m$ — угловой коэффициент, $x_0$ и $y_0$ — координаты точки касания.

Подставляем известные значения:

5. Преобразуем уравнение

Теперь преобразуем уравнение касательной:

умножим обе стороны на 3, чтобы избавиться от дроби:

раскроем скобки:

переносим все элементы в одну сторону:

и, наконец, получаем уравнение касательной:

Таким образом, уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой $x_0 = -3$ имеет вид: