Прямая y=4-2x является касательной к графику функции y=x^3+6x^2+7x+8. Найдите абсциссу точки касания.

Рассмотрим функцию $f(x) = x^3 + 6x^2 + 7x + 8$. По условию, прямая $y = 4 - 2x$ является касательной к графику этой функции. Это означает, что:

1. Прямая и график функции имеют общую точку (точка касания).

2. В этой точке производная функции $f'(x)$ равна угловому коэффициенту касательной, то есть $f'(x_0) = -2$.

Шаг 1: Найдём производную функции

Найдём первую производную функции $f(x)$:

Приравниваем производную к угловому коэффициенту касательной:

Разделим всё на 3:

Решим квадратное уравнение:

Шаг 2: Проверим, какая из этих точек действительно лежит на прямой и на графике функции (то есть удовлетворяет уравнению касательной)

Подставим $x = -1$ в функцию:

Подставим $x = -1$ в уравнение касательной:

Значит, при $x = -1$, значение функции и значение касательной совпадают — это и есть точка касания.

Проверим второй корень $x = -3$:

А по касательной:

Значения не совпадают, значит, касание происходит только в точке $x = -1$.

Ответ:

Абсцисса точки касания равна $\boxed{-1}$.