Прямая y=4-2x является касательной к графику функции y=x^3+6x^2+7x+8. Найдите абсциссу точки

Ответы на вопрос

Отвечает Barbq-Junior Андрюха.

Рассмотрим функцию $f(x) = x^3 + 6x^2 + 7x + 8$ . По условию, прямая $y = 4 - 2x$ является касательной к графику этой функции. Это означает, что:

Прямая и график функции имеют общую точку (точка касания).
В этой точке производная функции $f'(x)$ равна угловому коэффициенту касательной, то есть $f'(x_0) = -2$ .

Найдём первую производную функции $f(x)$ :

f'(x) = 3x^2 + 12x + 7

Приравниваем производную к угловому коэффициенту касательной:

3x^2 + 12x + 7 = -2

3x^2 + 12x + 9 = 0

Разделим всё на 3:

x^2 + 4x + 3 = 0

Решим квадратное уравнение:

x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{-4 \pm 2}{2}

x = -1 \quad \text{или} \quad x = -3

Подставим $x = -1$ в функцию:

f(-1) = (-1)^3 + 6(-1)^2 + 7(-1) + 8 = -1 + 6 - 7 + 8 = 6

Подставим $x = -1$ в уравнение касательной:

y = 4 - 2(-1) = 4 + 2 = 6

Значит, при $x = -1$ , значение функции и значение касательной совпадают — это и есть точка касания.

Проверим второй корень $x = -3$ :

f(-3) = (-3)^3 + 6(-3)^2 + 7(-3) + 8 = -27 + 54 - 21 + 8 = 14

А по касательной:

y = 4 - 2(-3) = 4 + 6 = 10

Значения не совпадают, значит, касание происходит только в точке $x = -1$ .

Абсцисса точки касания равна $\boxed{-1}$ .

Прямая y=4-2x является касательной к графику функции y=x^3+6x^2+7x+8. Найдите абсциссу точки касания.