Из двух металлов изготовили сплав массой 12 кг. Плотность первого металла 4000 кг/м3, второго – 8 г/см3, а плотность сплава оказалась равной 6000 кг/м3. Каковы массы металлов, входящих в сплав?

Для решения задачи на определение масс двух металлов, входящих в сплав, воспользуемся законом сохранения массы и свойствами плотности.

Дано:

• Масса сплава: $m = 12 \, \text{кг}$.
• Плотность первого металла: $\rho_1 = 4000 \, \text{кг/м}^3$.
• Плотность второго металла: $\rho_2 = 8 \, \text{г/см}^3 = 8000 \, \text{кг/м}^3$ (перевели единицы).
• Плотность сплава: $\rho = 6000 \, \text{кг/м}^3$.

Задача: Найти массы $m_1$ и $m_2$ первого и второго металлов, входящих в сплав.

Решение:

1. Пусть масса первого металла равна $m_1$, а масса второго — $m_2$. Тогда:

   $$m_1 + m_2 = 12 \, \text{кг}$$

2. Объем каждого металла определяется по формуле:

   $$V_1 = \frac{m_1}{\rho_1}, \quad V_2 = \frac{m_2}{\rho_2}$$

   где $V_1$ и $V_2$ — объемы первого и второго металлов соответственно.

3. Объем сплава $V$ равен сумме объемов составляющих его металлов:

   $$V = V_1 + V_2 = \frac{m_1}{\rho_1} + \frac{m_2}{\rho_2}$$

4. Объем сплава также можно выразить через его массу и плотность:

   $$V = \frac{m}{\rho} = \frac{12}{6000}$$

   Тогда объем сплава:

   $$V = \frac{12}{6000} = 0.002 \, \text{м}^3$$

5. Подставим выражения для объемов $V_1$ и $V_2$:

   $$\frac{m_1}{4000} + \frac{m_2}{8000} = 0.002$$

6. У нас теперь есть две уравнения:

   1. $m_1 + m_2 = 12$
   2. $\frac{m_1}{4000} + \frac{m_2}{8000} = 0.002$

7. Выразим $m_2$ из первого уравнения:

   $$m_2 = 12 - m_1$$

8. Подставим это в второе уравнение:

   $$\frac{m_1}{4000} + \frac{12 - m_1}{8000} = 0.002$$

9. Упростим уравнение:

   $$\frac{m_1}{4000} + \frac{12}{8000} - \frac{m_1}{8000} = 0.002$$

10. Приведем к общему знаменателю и решим:

    $$\frac{2m_1 + 12}{8000} = 0.002$$

11. Умножим обе части на 8000:

    $$2m_1 + 12 = 16$$ $$2m_1 = 4$$ $$$$