Две спирали электроплитки сопротивлением по 10 Ом каждая соединены параллельно и включены в сеть с напряжением 220 В. Вода массой 1 кг, налитая в алюминиевую кастрюлю массой 300 г, закипела через 37 с. Чему равна начальная температура воды и кастрюли? Потерями энергии на нагревание окружающего воздуха пренебречь. Удельная теплоемкость воды 4200 Дж/(кг⋅°С), алюминия 900 Дж/(кг⋅°С).

Для решения задачи используем закон сохранения энергии, который гласит, что вся энергия, полученная спиралями, уходит на нагревание воды и кастрюли. Начнем с анализа всех данных.

1. Данные задачи:

   • Сопротивление каждой спирали $R = 10 \, \Omega$,

   • Напряжение в сети $U = 220 \, В$,

   • Время, за которое вода закипела $t = 37 \, с$,

   • Масса воды $m_{\text{вода}} = 1 \, \text{кг}$,

   • Масса кастрюли $m_{\text{алюминий}} = 0.3 \, \text{кг}$,

   • Удельная теплоемкость воды $c_{\text{вода}} = 4200 \, \text{Дж/(кг⋅°С)}$,

   • Удельная теплоемкость алюминия $c_{\text{алюминий}} = 900 \, \text{Дж/(кг⋅°С)}$,

   • Теплота, необходимая для нагрева воды $Q_{\text{вода}} = m_{\text{вода}} c_{\text{вода}} \Delta T_{\text{вода}}$,

   • Теплота, необходимая для нагрева кастрюли $Q_{\text{алюминий}} = m_{\text{алюминий}} c_{\text{алюминий}} \Delta T_{\text{алюминий}}$,

   • Общая теплота $Q_{\text{общ}} = Q_{\text{вода}} + Q_{\text{алюминий}}$.

2. Найдем мощность, выделяемую спиралями.

   Поскольку спирали подключены параллельно, сопротивление параллельного соединения можно вычислить по формуле:

   $$R_{\text{параллельное}} = \frac{R}{2} = \frac{10}{2} = 5 \, \Omega$$

   Мощность, выделяемая на спиралях, вычисляется по закону Джоуля-Ленца:

   $$P = \frac{U^2}{R_{\text{параллельное}}} = \frac{220^2}{5} = 9680 \, \text{Вт}.$$

   Это мощность, которую спирали отдают за секунду.

3. Рассчитаем общее количество тепла, которое передается на воду и кастрюлю.

   За время $t = 37 \, с$ спирали отдадут следующее количество тепла:

   $$Q_{\text{общ}} = P \cdot t = 9680 \cdot 37 = 358160 \, \text{Дж}.$$

4. Вычислим температуру.

   Все это тепло пошло на нагревание воды и кастрюли. Начальная температура воды и кастрюли — $T_0$, а конечная температура — $100^\circ C$ (температура кипения воды).

   Общее количество теплоты, которое пошло на нагрев воды и кастрюли, можно выразить через удельные теплоемкости и массы:

   $$Q_{\text{общ}} = m_{\text{вода}} c_{\text{вода}} (T_{\text{конечное}} - T_0) + m_{\text{алюминий}} c_{\text{алюминий}} (T_{\text{конечное}} - T_0).$$

   Подставим известные значения:

   $$358160 = 1 \cdot 4200 \cdot (100 - T_0) + 0.3 \cdot 900 \cdot (100 - T_0).$$

   Упростим уравнение:

   $$358160 = 4200 \cdot (100 - T_0) + 270 \cdot (100 - T_0).$$

   Вынесем $(100 - T_0)$ за скобки:

   $$358160 = (4200 + 270) \cdot (100 - T_0).$$ $$358160 = 4470 \cdot (100 - T_0).$$

   Разделим обе стороны на 4470:

   $$100 - T_0 = \frac{358160}{4470} \approx 80.02.$$

   Следовательно:

   $$T_0 \approx 100 - 80.02 = 19.98^\circ C.$$