1. Движение двух материальных точек выражается уравнениями x₁ = A₁ + B₁t + C₁t² и x₂ = A₂ + B₂t + C₂t², где A₁ = 20 м; B₁ = 3 м/c; C₁ = -4 м/с²; A₂ = 2 м; B₂ = 2 м/c; C₂ = 0,5 м/с². В какой момент времени скорости этих точек будут одинаковы? Чему равны скорости и ускорения этих точек?

Решение.

Скорости — это производные координат по времени:

• $v_1(t)=\dot x_1=B_1+2C_1t=3+2(-4)t=3-8t$.

• $v_2(t)=\dot x_2=B_2+2C_2t=2+2(0{,}5)t=2+t$.

Приравняем скорости:

Общая (совпадающая) скорость в этот момент:

(проверка: $v_1(1/9)=3-8\cdot\frac{1}{9}=3-\frac{8}{9}=\frac{19}{9}$ м/с — совпадает).

Ускорения — это вторые производные координат (или производные скоростей):

• $a_1=2C_1=2(-4)=-8\ \text{м/с}^2$ — постоянно.

• $a_2=2C_2=2\cdot 0{,}5=1\ \text{м/с}^2$ — постоянно.

Итого:

• Момент равенства скоростей: $t=\frac{1}{9}$ с.

• Скорости в этот момент: $v_1=v_2=\frac{19}{9}$ м/с $\approx 2{,}11$ м/с.

• Ускорения: $a_1=-8$ м/с², $a_2=1$ м/с².