4. Для изотермического процесса построить график зависимости от р от V, взяв за исходное давление 1 кг воздуха при нормальных условиях

Для изотермического процесса можно построить график зависимости давления $p$ от объёма $V$, используя уравнение состояния идеального газа. Давайте подробно разберёмся, как это сделать, используя условия задачи.

Основные положения и формулы

Изотермический процесс — это процесс, при котором температура системы остаётся постоянной. В случае идеального газа это означает, что произведение давления и объёма остаётся постоянным:

В данной задаче речь идёт об 1 кг воздуха при нормальных условиях. Под нормальными условиями подразумевается:

• Давление $p_0 = 101325 \, \text{Па}$
• Температура $T_0 = 273.15 \, \text{K}$

Также для идеального газа справедливо уравнение состояния:

где:

• $m$ — масса газа, в нашем случае $m = 1 \, \text{кг}$,
• $R$ — универсальная газовая постоянная, $R = 8.314 \, \text{Дж/(моль·К)}$,
• $M$ — молярная масса воздуха, примерно равная $M = 0.029 \, \text{кг/моль}$.

Шаги для построения графика

1. Найдём начальный объём $V_0$ при нормальных условиях.

   Подставим в уравнение состояния все известные величины, чтобы найти $V_0$:

   $$V_0 = \frac{m R T_0}{p_0 M}$$

   Подставим значения:

   $$V_0 = \frac{1 \cdot 8.314 \cdot 273.15}{101325 \cdot 0.029} \approx 0.0224 \, \text{м}^3$$

2. Выразим зависимость $p$ от $V$ для изотермического процесса.

   Поскольку температура остаётся постоянной, произведение $p V$ остаётся неизменным, т.е. $p V = p_0 V_0$. Тогда зависимость давления от объёма можно записать как:

   $$p = \frac{p_0 V_0}{V}$$

   Здесь $p_0 V_0$ — постоянная величина для данного процесса.

3. Построение графика.

   График зависимости $p$ от $V$ в изотермическом процессе является гиперболой. При увеличении объёма $V$ давление $p$ уменьшается, и наоборот. График будет выглядеть следующим образом:

   • При объёме $V = V_0$, давление равно $p = p_0$.
   • С увеличением $V$, давление будет убывать по гиперболическому закону $p = \frac{p_0 V_0}{V}$.

Для построения графика можно взять значения $V$ от $V_0 / 2$ до $2V_0$ и вычислить соответствующие значения $p$. На графике ось $x$ будет представлять объём $V$, а ось $y$ — давление $p$.

Результаты

Полученный график покажет, что по мере увеличения объёма давление снижается, и наоборот, при уменьшении объёма давление возрастает. Это типичная зависимость для изотермического процесса для идеального газа.

Такой график часто называют гиперболой изотермы, и он отражает основное свойство изотермического процесса — обратная пропорциональность давления и объёма при постоянной температуре.