Масса ракеты с топливом m0 = 10 кг. Рассчитайте расход топлива, необходимый для достижения ракетой первой космической скорости v = 8 • 10^3 м/с, если скорость газовой струи относительно ракеты равна и = 4 • 10^3 м/с.

Для расчета необходимого расхода топлива, чтобы ракета достигла первой космической скорости, мы можем воспользоваться уравнением Циолковского для реактивного движения. Оно выглядит следующим образом:

где:

• $v$ — конечная скорость ракеты (первая космическая скорость),
• $u$ — скорость истечения газов,
• $m_0$ — начальная масса ракеты с топливом,
• $m$ — конечная масса ракеты после сжигания топлива.

Шаги решения:

1. Выразим отношение масс через данное уравнение, чтобы найти массу $m$, которая останется после сгорания топлива.

   Подставляем известные значения: $v = 8 \cdot 10^3$ м/с, $u = 4 \cdot 10^3$ м/с, $m_0 = 10$ кг.

   Уравнение примет вид:

   $$8 \cdot 10^3 = 4 \cdot 10^3 \cdot \ln \left(\frac{10}{m}\right)$$

2. Решим уравнение для $\ln$:

   Разделим обе стороны на $u = 4 \cdot 10^3$ м/с:

   $$\frac{8 \cdot 10^3}{4 \cdot 10^3} = \ln \left(\frac{10}{m}\right)$$ $$2 = \ln \left(\frac{10}{m}\right)$$

3. Избавимся от логарифма.

   Преобразуем уравнение, используя экспоненциальную функцию:

   $$e^2 = \frac{10}{m}$$ $$m = \frac{10}{e^2}$$

4. Вычислим $e^2$.

   Значение $e$ примерно равно 2.718, тогда $e^2 \approx 7.389$.

   Подставляем это значение:

   $$m = \frac{10}{7.389} \approx 1.35 \text{ кг}$$

5. Найдём расход топлива.

   Расход топлива равен разности между начальной и конечной массой:

   $$\Delta m = m_0 - m$$

   Подставляем значения:

   $$\Delta m = 10 - 1.35 \approx 8.65 \text{ кг}$$

Ответ:

Для достижения первой космической скорости ракете потребуется израсходовать примерно 8.65 кг топлива.