При каких значениях коэффициента k абсциссы и ординаты точек, принадлежащих графику функции y = kx и отличных от начала координат:
а) имеют одинаковые знаки;
б) имеют разные знаки;
в) равны между собой;
г) являются противоположными числами?​

Разберём каждое из условий по отдельности для функции $y = kx$, где $k$ — коэффициент наклона (угловой коэффициент) прямой.

a) Когда абсциссы и ординаты точек, принадлежащих графику функции, имеют одинаковые знаки?

Абсциссы (значения $x$) и ординаты (значения $y$) будут иметь одинаковые знаки, если и $x$, и $y$ положительны или оба отрицательны. Для функции $y = kx$ это произойдёт, если $k > 0$, потому что:

• Если $k > 0$, то $y$ и $x$ будут одного знака. Например, при $x > 0$ значение $y$ также будет больше нуля, а при $x < 0$ — меньше нуля.
• Если $k < 0$, то $x$ и $y$ будут иметь противоположные знаки, что не подходит для этого случая.

Ответ: Для одинаковых знаков $x$ и $y$ должно выполняться условие $k > 0$.

б) Когда абсциссы и ординаты точек имеют разные знаки?

Абсциссы и ординаты имеют разные знаки, если одно значение положительно, а другое отрицательно. Это произойдёт, если $k < 0$, потому что:

• Если $k < 0$, то $y$ будет противоположно по знаку значению $x$. При $x > 0$ значение $y$ будет отрицательным, а при $x < 0$ — положительным.

Ответ: Для разных знаков $x$ и $y$ должно выполняться условие $k < 0$.

в) Когда абсциссы и ординаты равны между собой?

Для того чтобы абсцисса и ордината были равны, должно выполняться условие $y = x$. Подставим это в уравнение функции:

При $x \neq 0$ можно сократить на $x$, получаем $k = 1$. Таким образом, при $k = 1$ прямая будет совпадать с биссектрисой первого и третьего координатных углов, и все точки на графике будут удовлетворять условию $y = x$.

Ответ: Для того чтобы $x = y$, необходимо, чтобы $k = 1$.

г) Когда абсциссы и ординаты являются противоположными числами?

Абсциссы и ординаты будут противоположными, если $y = -x$. Подставим это в уравнение функции:

При $x \neq 0$ можно сократить на $x$, получаем $k = -1$. Таким образом, при $k = -1$ прямая будет совпадать с биссектрисой второго и четвёртого координатных углов, и все точки на графике будут удовлетворять условию $y = -x$.

Ответ: Для того чтобы $y = -x$, необходимо, чтобы $k = -1$.

Подведём итог:

1. Одинаковые знаки: $k > 0$.
2. Разные знаки: $k < 0$.
3. Равны между собой: $k = 1$.
4. Противоположные числа: $k = -1$.