Колебательный контур состоит из катушки с индуктивностью 0,2 Гн и конденсатора емкостью 10^-5 Ф. В момент, когда мгновенное значение напряжения на конденсаторе 1 В, мгновенное значение силы тока в контуре 0,01 А. Чему равны амплитудные значения силы тока и напряжения в контуре?

Для определения амплитудных значений силы тока и напряжения в колебательном контуре можно использовать законы сохранения энергии, так как энергия в идеальном LC-контуре сохраняется и периодически переходит между магнитным полем катушки и электрическим полем конденсатора.

Дано:

• Индуктивность $L = 0{,}2 \, \text{Гн}$.
• Емкость $C = 10^{-5} \, \text{Ф}$.
• Мгновенное напряжение на конденсаторе $U = 1 \, \text{В}$.
• Мгновенная сила тока в контуре $I = 0{,}01 \, \text{А}$.

Задача:

Найти амплитудные значения силы тока $I_0$ и напряжения $U_0$.

Решение:

1. Найдем полную энергию колебательного контура

   В любой момент времени полная энергия в колебательном контуре складывается из энергии, запасённой в конденсаторе и катушке:

   $$W = W_C + W_L$$

   где

   $$W_C = \frac{C U^2}{2} \quad \text{— энергия конденсатора,}$$ $$W_L = \frac{L I^2}{2} \quad \text{— энергия катушки.}$$

   Подставим значения $U = 1 \, \text{В}$, $I = 0{,}01 \, \text{А}$, $C = 10^{-5} \, \text{Ф}$ и $L = 0{,}2 \, \text{Гн}$:

   $$W_C = \frac{10^{-5} \cdot 1^2}{2} = 5 \cdot 10^{-6} \, \text{Дж},$$ $$W_L = \frac{0{,}2 \cdot (0{,}01)^2}{2} = 1 \cdot 10^{-6} \, \text{Дж}.$$

   Таким образом, полная энергия:

   $$W = W_C + W_L = 5 \cdot 10^{-6} + 1 \cdot 10^{-6} = 6 \cdot 10^{-6} \, \text{Дж}.$$

2. Найдем амплитудное значение напряжения $U_0$

   Максимальная энергия конденсатора будет равна полной энергии системы:

   $$W = \frac{C U_0^2}{2}.$$

   Отсюда

   $$U_0 = \sqrt{\frac{2W}{C}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 6 \cdot 10^{-6}}{10^{-5}}}.$$

   Решим это выражение:

   $$U_0 = \sqrt{1{,}2} \approx 1{,}1 \, \text{В}.$$

3. Найдем амплитудное значение силы тока $I_0$

   Максимальная энергия катушки также равна полной энергии системы:

   $$W = \frac{L I_0^2}{2}.$$

   Отсюда

   $$I_0 = \sqrt{\frac{2W}{L}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 6 \cdot 10^{-6}}{0{,}2}}.$$

   Решим это выражение:

   $$I_0 = \sqrt{6 \cdot 10^{-5}} = 0{,}0245 \, \text{А}.$$