1) Какую скорость будет иметь спутник Луны,запущенный на высоту 2000 км над поверхностью Луны ? Масса луны 7,35:10²² кг, радиус Луны 1,74 · 10 (в 6 степени) м.

2) На какую высоту надо поднять искусственный спутник Земли , чтобы он двигался со скоростью 7,75 км/с? Мз=6·10 ( в 24 степени ), радиус = 6400 км

Для решения этих задач нужно использовать законы гравитации и движение по круговой орбите.

Задача 1

1. Найдем орбитальную скорость спутника Луны.

   Спутник на орбите вокруг Луны будет двигаться с орбитальной скоростью, которая определяется формулой:

   $$v = \sqrt{\frac{G \cdot M}{R + h}}$$

   где:

   • $G$ — гравитационная постоянная ($G = 6.674 \times 10^{-11} \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{кг}^2$),
   • $M$ — масса Луны ($M = 7.35 \times 10^{22} \, \text{кг}$),
   • $R$ — радиус Луны ($R = 1.74 \times 10^6 \, \text{м}$),
   • $h$ — высота спутника над поверхностью Луны ($h = 2000 \, \text{км} = 2 \times 10^6 \, \text{м}$).

2. Подставим значения:

   Общий радиус орбиты $R_{\text{общий}} = R + h = 1.74 \times 10^6 + 2 \times 10^6 = 3.74 \times 10^6 \, \text{м}$.

   Теперь можно рассчитать скорость:

   $$v = \sqrt{\frac{6.674 \times 10^{-11} \times 7.35 \times 10^{22}}{3.74 \times 10^6}}$$

3. Рассчитываем:

   После подстановки и вычислений получится, что орбитальная скорость на высоте 2000 км над поверхностью Луны составляет примерно 1.63 км/с.

Задача 2

1. Найдем высоту орбиты для спутника Земли, чтобы он двигался со скоростью 7.75 км/с.

   Для искусственного спутника Земли также применима формула орбитальной скорости:

   $$v = \sqrt{\frac{G \cdot M_z}{R_z + h}}$$

   где:

   • $v = 7.75 \, \text{км/с} = 7750 \, \text{м/с}$,
   • $M_z$ — масса Земли ($M_z = 6 \times 10^{24} \, \text{кг}$),
   • $R_z$ — радиус Земли ($R_z = 6400 \, \text{км} = 6.4 \times 10^6 \, \text{м}$),
   • $h$ — высота спутника над поверхностью Земли, которую мы ищем.

2. Перепишем формулу для высоты $h$:

   Выразим $h$ из формулы орбитальной скорости:

   $$h = \frac{G \cdot M_z}{v^2} - R_z$$

3. Подставим значения:

   $$h = \frac{6.674 \times 10^{-11} \times 6 \times 10^{24}}{7750^2} - 6.4 \times 10^6$$

4. Рассчитаем:

   После подстановки и вычислений получится, что для орбитальной скорости 7.75 км/с высота спутника над Землей должна составить примерно 1315 км.