С плота массой 200 кг, плывущего по озеру со скоростью 0.4 м/с, в направлении , противоположном направлению движения плота, со скоростью 2 м/с прыгает мальчик . Масса мальчика 40 кг. Какую скорость приобретает плот ?

Для решения этой задачи используем закон сохранения импульса, так как система (мальчик и плот) замкнута, и на неё не действуют внешние силы (если пренебречь сопротивлением воды и трением).

Дано:

• Масса плота $m_1 = 200 \, \text{кг}$,
• Скорость плота $v_1 = 0.4 \, \text{м/с}$,
• Масса мальчика $m_2 = 40 \, \text{кг}$,
• Скорость мальчика относительно плота $v_{м.п} = 2 \, \text{м/с}$.

Нужно найти конечную скорость плота $v_1'$ после того, как мальчик прыгает.

Решение:

1. Скорость мальчика относительно берега:

   Скорость мальчика относительно берега ($v_2'$) рассчитывается как сумма его скорости относительно плота ($v_{м.п}$) и скорости самого плота ($v_1$), но с учётом направления:

   $$v_2' = -v_{м.п} + v_1 = -2 + 0.4 = -1.6 \, \text{м/с}.$$

2. Импульс до прыжка:

   До прыжка вся система (плот + мальчик) движется со скоростью $v_1 = 0.4 \, \text{м/с}$. Общий импульс:

   $$p_{\text{до}} = (m_1 + m_2) \cdot v_1 = (200 + 40) \cdot 0.4 = 240 \cdot 0.4 = 96 \, \text{кг} \cdot \text{м/с}.$$

3. Импульс после прыжка:

   После прыжка мальчик движется со скоростью $v_2' = -1.6 \, \text{м/с}$, а плот приобретает новую скорость $v_1'$. Общий импульс системы:

   $$p_{\text{после}} = m_1 \cdot v_1' + m_2 \cdot v_2'.$$

4. Применяем закон сохранения импульса:

   Так как система замкнута, импульс сохраняется:

   $$p_{\text{до}} = p_{\text{после}}.$$

   Подставим значения:

   $$(m_1 + m_2) \cdot v_1 = m_1 \cdot v_1' + m_2 \cdot v_2'.$$

   Раскрываем:

   $$96 = 200 \cdot v_1' + 40 \cdot (-1.6).$$

5. Решаем уравнение:

   Сначала вычислим $40 \cdot (-1.6)$:

   $$40 \cdot (-1.6) = -64.$$

   Подставим:

   $$96 = 200 \cdot v_1' - 64.$$

   Переносим $-64$ вправо:

   $$96 + 64 = 200 \cdot v_1'.$$

   Суммируем:

   $$160 = 200 \cdot v_1'.$$

   Найдём $v_1'$:

   $$v_1' = \frac{160}{200} = 0.8 \, \text{м/с}.$$

Ответ:

После прыжка мальчика плот приобретает скорость $v_1' = 0.8 \, \text{м/с}$.