Во сколько раз изменится полная механическая энергия колеблющегося маятника при уменьшении его длины в 3 раза и увеличения амплитуды колебаний в 2 раза?

Для анализа изменения полной механической энергии колеблющегося маятника при изменении его длины и амплитуды, нужно учесть природу этой энергии. Полная механическая энергия $E$ в маятнике определяется суммой его кинетической и потенциальной энергии. Для гармонических колебаний энергия пропорциональна квадрату амплитуды $A$. Формула для энергии выглядит следующим образом:

Однако частота колебаний $\omega$, а значит и зависимость $E$ от других параметров, связана с длиной маятника $l$. Частота колебаний математического маятника выражается как:

где $g$ — ускорение свободного падения, $l$ — длина маятника.

Следовательно, период колебаний $T$ (и динамика энергии) зависит от длины следующим образом:

Для вычисления изменения энергии учтём два изменения:

1. Амплитуда увеличивается в 2 раза: так как энергия пропорциональна квадрату амплитуды, то при увеличении $A$ в 2 раза энергия увеличивается в:

2. Длина маятника уменьшается в 3 раза: при этом частота увеличивается, так как $\omega \propto \frac{1}{\sqrt{l}}$. Уменьшение длины в 3 раза увеличивает частоту в:

Полная энергия пропорциональна также квадрату частоты:

Уменьшение длины в 3 раза увеличивает вклад энергии за счёт частоты в 3 раза.

Теперь объединяем оба эффекта:

1. Увеличение энергии за счёт амплитуды: в 4 раза.
2. Увеличение энергии за счёт изменения длины: в 3 раза.

Итоговое изменение полной механической энергии:

Таким образом, полная механическая энергия маятника увеличится в 12 раз.