На тонкую пленку с показателем преломления 1,5 расположенную в воздухе, падает нормально монохроматический свет с длиной волны l. Определить, какой должна быть наименьшая толщина пленки, чтобы в отраженном свете она казалась темной. Какой цвет будет иметь пленка, если ее толщина будет 1,66 l?

Решение:

1. Условие интерференционного гашения:

Для того чтобы пленка казалась темной в отраженном свете, интерференция света должна быть деструктивной. Это достигается, когда разность хода световых волн, отраженных от верхней и нижней поверхностей пленки, равна нечетному числу полуволн ($(2m + 1)\frac{\lambda}{2}$, где $m = 0, 1, 2, \ldots$).

Когда свет отражается от верхней границы пленки (граница воздух–пленка), происходит смена фазы на $\pi$, что эквивалентно дополнительному смещению на $\frac{\lambda}{2}$. При отражении от нижней границы пленки (граница пленка–воздух), смены фазы не происходит, так как свет проходит из более плотной среды в менее плотную. Таким образом, полная разность хода $\Delta$ складывается из двух составляющих:

1. Двойного хода света в пленке: $2nd$, где $n = 1.5$ — показатель преломления пленки, а $d$ — ее толщина.
2. Дополнительного сдвига фаз при отражении на верхней границе: $\frac{\lambda}{2}$.

Для деструктивной интерференции условие разности хода выглядит так:

где $m = 1, 2, 3, \ldots$.

Минимальная толщина пленки:

При $m = 1$ (первый порядок интерференции), толщина $d$ минимальна:

Подставляя $n = 1.5$:

Таким образом, минимальная толщина пленки для деструктивной интерференции равна:

2. Толщина пленки $d = 1.66\lambda$:

Если толщина пленки равна $1.66\lambda$, найдем порядок интерференции $m$:

Приблизительно, $m = 5$, то есть порядок интерференции — пятый. Это означает, что при данной толщине пленка будет усиливать свет пятого порядка, а цвет, который наблюдается, будет зависеть от длины волны в пленке.

Цвет пленки:

Цвет пленки определяется длиной волны света в пленке:

Если $\lambda$ соответствует видимому спектру (например, зеленый свет с длиной волны $\lambda = 540 \, \text{нм}$), то длина волны внутри пленки составит:

Длина волны $360 \, \text{нм}$ относится к ультрафиолетовому спектру, который невидим. Следовательно, отраженный свет будет окрашен в спектральный цвет следующего порядка. На практике пленка будет иметь видимый оттенок, определяемый длинами волн соседних порядков интерференции (синеватый или зеленоватый).

Выводы:

1. Минимальная толщина пленки для деструктивной интерференции: $d_{\text{min}} = \frac{\lambda}{3}$.
2. Цвет пленки при $d = 1.66\lambda$ будет определяться интерференцией пятого порядка и иметь сложный спектральный оттенок, чаще синие или зеленоватые оттенки.