ракета стартует и движется вертикально вверх с ускорением а=2g. через t0=20 с полета двигатель отключается. Через какое время после старта ракета упадет на землю?

Чтобы ответить на вопрос, давайте разберем движение ракеты поэтапно, применяя законы кинематики и используя заданные данные:

Дано:

1. Ускорение ракеты до выключения двигателя: $a = 2g = 19.6 \, \text{м/с}^2$ (где $g = 9.8 \, \text{м/с}^2$).
2. Время работы двигателя: $t_0 = 20 \, \text{с}$.
3. После выключения двигателя ракета движется по законам свободного падения, сначала вверх (по инерции), а затем вниз.

Найдем время полного полета ракеты. Для этого определим движение в двух фазах:

Фаза 1: Разгон под действием двигателя

Во время работы двигателя ракета движется с постоянным ускорением $a = 19.6 \, \text{м/с}^2$.

• Начальная скорость $v_0 = 0 \, \text{м/с}$.

• Найдем скорость ракеты в момент выключения двигателя ($v_1$) по формуле:

  $$v_1 = v_0 + a \cdot t_0 = 0 + 19.6 \cdot 20 = 392 \, \text{м/с}.$$

• Найдем высоту, на которую поднялась ракета к моменту выключения двигателя ($h_1$) по формуле:

  $$h_1 = v_0 \cdot t_0 + \frac{1}{2} a t_0^2 = 0 + \frac{1}{2} \cdot 19.6 \cdot 20^2 = 3920 \, \text{м}.$$

Фаза 2: Движение по инерции после выключения двигателя

После выключения двигателя ракета продолжает подниматься за счет своей скорости $v_1 = 392 \, \text{м/с}$, но под действием гравитации начинает замедляться ($a = -g$).

• Время подъема до максимальной высоты ($t_{\text{подъем}}$) найдем из условия: скорость на вершине траектории равна нулю ($v = 0$):

  $$t_{\text{подъем}} = \frac{v_1}{g} = \frac{392}{9.8} = 40 \, \text{с}.$$

• Найдем дополнительную высоту ($h_2$), которую ракета преодолеет за это время:

  $$h_2 = v_1 \cdot t_{\text{подъем}} - \frac{1}{2} g t_{\text{подъем}}^2 = 392 \cdot 40 - \frac{1}{2} \cdot 9.8 \cdot 40^2 = 7840 \, \text{м}.$$

• Общая высота ($H$) ракеты:

  $$H = h_1 + h_2 = 3920 + 7840 = 11\,760 \, \text{м}.$$

Фаза 3: Свободное падение

Теперь ракета начинает падать вниз с высоты $H = 11\,760 \, \text{м}$. Для этого используется формула для времени падения:

• Выразим $t_{\text{падение}}$: $$t_{\text{падение}} = \sqrt{\frac{2H}{g}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 11\,760}{9.8}} \approx \sqrt{2400} \approx 49 \, \text{с}.$$

Общее время полета

Суммируем время всех фаз:

1. Время разгона ($t_0$): $20 \, \text{с}$.
2. Время подъема после выключения двигателя ($t_{\text{подъем}}$): $40 \, \text{с}$.
3. Время падения ($t_{\text{падение}}$): $49 \, \text{с}$.