Конический маятник состоит из легкой нити длиной 1 м, на конце которой находится шарик массой 10 г заряженный зарядом 2×−5 Кл. Маятник находится в вертикальном однородном электрическом поле с напряженностью 1 кВ/м. Определить угловую скорость движения шарика и силу натяжения нити, если угол между нитью и вертикалью равен 30градусов

Чтобы решить эту задачу, нужно рассмотреть несколько факторов, которые влияют на движение конического маятника: силы тяжести, силы электростатического взаимодействия и центростремительное ускорение, возникающее при движении маятника.

Дано:

• Длина нити $l = 1 \, \text{м}$
• Масса шарика $m = 10 \, \text{г} = 0.01 \, \text{кг}$
• Заряд шарика $q = 2 \times 10^{-5} \, \text{Кл}$
• Напряженность электрического поля $E = 1 \, \text{kV/m} = 1000 \, \text{В/м}$
• Угол отклонения $\theta = 30^\circ$
• Величина силы тяжести $g = 9.81 \, \text{м/с}^2$

Этап 1: Сила, действующая на шарик

1. Сила тяжести: Сила тяжести, действующая на шарик, равна $F_g = m \cdot g$. Подставим значения:

   $$F_g = 0.01 \times 9.81 = 0.0981 \, \text{Н}$$

2. Сила электростатического взаимодействия: Сила, с которой электрическое поле действует на шарик, определяется по закону Кулона:

   $$F_e = q \cdot E = 2 \times 10^{-5} \times 1000 = 0.02 \, \text{Н}$$

   Направление этой силы будет горизонтальным, так как электрическое поле направлено вверх, а заряд положительный.

Этап 2: Разложение сил

Шарик подвешен на нити и движется по конусообразной траектории, образуя угол $\theta = 30^\circ$ с вертикалью. Мы разложим силы на компоненты.

1. Компоненты силы тяжести:

   • Вертикальная компонента силы тяжести: $F_{g\text{(vert)}} = F_g \cdot \cos(\theta) = 0.0981 \cdot \cos(30^\circ) \approx 0.0851 \, \text{Н}$
   • Горизонтальная компонента силы тяжести: $F_{g\text{(hor)}} = F_g \cdot \sin(\theta) = 0.0981 \cdot \sin(30^\circ) = 0.04905 \, \text{Н}$

2. Компоненты силы электростатического взаимодействия: Электрическая сила действует горизонтально, так что её компоненты:

   • Горизонтальная компонента: $F_{e\text{(hor)}} = F_e = 0.02 \, \text{Н}$
   • Вертикальная компонента: $F_{e\text{(vert)}} = 0 \, \text{Н}$, так как электрическая сила действует только по горизонтали.

Этап 3: Равновесие сил

Для того чтобы маятник двигался по конусообразной траектории, вертикальная составляющая силы натяжения нити должна уравновешивать вертикальные силы (в том числе компоненту силы тяжести и вертикальную компоненту силы электрического поля), а горизонтальная составляющая силы натяжения должна уравновешивать горизонтальные силы (горизонтальные компоненты силы тяжести и электрической силы).

1. Вертикальное равновесие:

   $$T \cdot \cos(\theta) = F_g + F_{e\text{(vert)}}$$

   Подставим значения:

   $$T \cdot \cos(30^\circ) = 0.0981 + 0$$ $$T \cdot 0.866 = 0.0981$$ $$T = \frac{0.0981}{0.866} \approx 0.113 \, \text{Н}$$

2. Горизонтальное равновесие:

   $$T \cdot \sin(\theta) = F_{g\text{(hor)}} + F_e$$

   Подставим значения:

   $$T \cdot \sin(30^\circ) = 0.04905 + 0.02$$ $$T \cdot 0.5 = 0.06905$$ $$T = \frac{0.06905}{0.5} = 0.1381 \, \text{Н}$$

Этап 4: Угловая скорость

Для нахождения угловой скорости маятника, необходимо учитывать центростремительное ускорение, которое возникает при движении по круговой траектории. Центростремительная сила равна $F_c = T \cdot \sin(\theta)$, и она уравновешивает силы инерции. Из формулы центростремительного ускорения можно найти угловую скорость $\omega$:

где $r = l \cdot \sin(\theta)$ — радиус траектории, по которой движется шарик. Подставим значения:

Теперь, подставим в формулу для центростремительной силы: