Движение материальной точки описывается уравнением х = 8t + 4t2. Приняв ее массу равной 2 кг, найти импульс через 2 с и через 4 с после начала отсчета времени, а также силу, вызвавшую это изменение импульса.

Для того чтобы найти импульс и силу, вызвавшую изменение импульса, нужно рассчитать следующие величины:

1. Импульс через 2 с и через 4 с.

Импульс $\vec{p}$ материальной точки равен произведению её массы на её скорость:

где:

• $m = 2 \, \text{кг}$ — масса,
• $\vec{v}$ — скорость.

Для этого сначала нужно найти скорость, которая является первой производной от координаты по времени.

Уравнение координаты $x(t)$ дано как:

Теперь найдём скорость $v(t)$, взяв первую производную от $x(t)$ по времени:

Теперь найдём импульс в моменты времени $t = 2 \, \text{с}$ и $t = 4 \, \text{с}$.

• В момент $t = 2 \, \text{с}$:

Импульс в момент $t = 2 \, \text{с}$:

• В момент $t = 4 \, \text{с}$:

Импульс в момент $t = 4 \, \text{с}$:

2. Сила, вызвавшая изменение импульса.

Сила, действующая на материальную точку, можно найти через изменение импульса с помощью второго закона Ньютона:

где $\vec{p}$ — импульс, $\frac{d\vec{p}}{dt}$ — скорость изменения импульса.

Чтобы найти силу, сначала нужно вычислить производную от импульса по времени. Импульс $\vec{p}(t) = m \cdot v(t)$, а скорость $v(t) = 8 + 8t$. Таким образом:

Теперь находим производную импульса по времени:

Это и есть сила, действующая на точку, которая является постоянной и равна 16 Н.

Таким образом, сила, вызвавшая изменение импульса, равна 16 Н, и она постоянна на протяжении всего движения точки.

Ответ:

• Импульс через 2 с: 48 кг·м/с.
• Импульс через 4 с: 80 кг·м/с.
• Сила, вызвавшая изменение импульса: 16 Н.