С наклонной плоскости, угол наклона которой 45°, соскальзывают два груза массой 2 кг (движется первым) и 1 кг, соединенные пружиной жесткостью 100 Н/м. Коэффициенты трения между грузами и плоскостью равны соответственно 0,2 и 0,5. Найдите растяжение пружины при соскальзывании грузов. (i risunok k ney)

Для того чтобы решить задачу, нужно учитывать несколько факторов: силы тяжести, силы трения, силы упругости пружины и законы Ньютона для обоих грузов.

Шаг 1. Разбор условий задачи

• У нас есть наклонная плоскость с углом наклона 45°.
• Два груза массой 2 кг и 1 кг, соединенные пружиной с жесткостью 100 Н/м.
• Коэффициенты трения между грузами и плоскостью: для первого груза $\mu_1 = 0.2$, для второго груза $\mu_2 = 0.5$.
• Плоскость наклонена под углом 45°.

Шаг 2. Силы, действующие на грузы

1. Сила тяжести: на каждый груз действует сила тяжести, которая направлена вниз:

   • Для первого груза (массой 2 кг): $F_{g1} = m_1 g = 2 \times 9.8 = 19.6 \, \text{Н}$.
   • Для второго груза (массой 1 кг): $F_{g2} = m_2 g = 1 \times 9.8 = 9.8 \, \text{Н}$.

2. Сила нормального давления на наклонной плоскости:

   • Нормальная сила для первого груза: $F_{n1} = F_{g1} \cos(\alpha) = 19.6 \times \cos(45^\circ) = 19.6 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 13.87 \, \text{Н}$.
   • Нормальная сила для второго груза: $F_{n2} = F_{g2} \cos(\alpha) = 9.8 \times \cos(45^\circ) = 9.8 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 6.93 \, \text{Н}$.

3. Сила трения, которая противоположна движению и зависит от нормальной силы и коэффициента трения:

   • Для первого груза: $F_{\text{тр1}} = \mu_1 F_{n1} = 0.2 \times 13.87 = 2.774 \, \text{Н}$.
   • Для второго груза: $F_{\text{тр2}} = \mu_2 F_{n2} = 0.5 \times 6.93 = 3.465 \, \text{Н}$.

4. Компоненты силы тяжести, направленные по наклонной плоскости:

   • Для первого груза: $F_{\parallel1} = F_{g1} \sin(\alpha) = 19.6 \times \sin(45^\circ) = 19.6 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 13.87 \, \text{Н}$.
   • Для второго груза: $F_{\parallel2} = F_{g2} \sin(\alpha) = 9.8 \times \sin(45^\circ) = 9.8 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 6.93 \, \text{Н}$.

Шаг 3. Сила взаимодействия между грузами и пружиной

Предположим, что при движении двух грузов пружина растягивается. Поскольку два груза связаны пружиной, они воздействуют друг на друга, и пружина пытается вернуть их в исходное положение.

• Пусть растяжение пружины $x$.
• Сила упругости пружины $F_{\text{упр}} = k \cdot x = 100 \cdot x$ (где $k = 100 \, \text{Н/м}$).

Шаг 4. Составление уравнений движения

Учитывая все силы, действующие на грузы, можно составить следующие уравнения движения для каждого из них. Мы будем использовать второй закон Ньютона для каждого груза:

1. Для первого груза (масса $m_1 = 2 \, \text{кг}$):

   $$F_{\parallel1} - F_{\text{тр1}} - F_{\text{упр}} = m_1 \cdot a$$ $$13.87 - 2.774 - 100x = 2a$$ $$11.096 - 100x = 2a$$

2. Для второго груза (масса $m_2 = 1 \, \text{кг}$):

   $$F_{\parallel2} - F_{\text{тр2}} + F_{\text{упр}} = m_2 \cdot a$$