Груз прикреплен к пружине, расположенной параллельно доске, угол наклона которой к горизонту можно изменить. При горизонтальном расположении доски пружина не деформирована. Если установить угол наклона, равный 20°, то удлинение пружины будет З см; если увеличить угол до 30°, то удлинение пружины составит 7 см. Найди коэффициент трения между грузом и доской. (Ответ округли до сотых.)

Для решения задачи нам нужно рассмотреть силы, действующие на груз, и использовать законы равновесия, а также закон Гука. Поскольку пружина находится в состоянии равновесия при различных углах наклона доски, это означает, что сумма сил, действующих на груз, уравновешивается в каждом случае.

Дано:

• Угол наклона $\alpha_1 = 20^\circ$ — удлинение пружины $x_1 = 3$ см.
• Угол наклона $\alpha_2 = 30^\circ$ — удлинение пружины $x_2 = 7$ см.

Необходимо найти: Коэффициент трения $\mu$ между грузом и доской.

Решение:

1. Анализ сил, действующих на груз:

   При наклоне доски на угол $\alpha$, на груз действуют:

   • Сила тяжести $mg$.
   • Сила трения $F_{\text{тр}}$.
   • Сила реакции опоры $N$.
   • Сила упругости пружины $F_{\text{упр}} = kx$, где $k$ — жесткость пружины, $x$ — удлинение пружины.

2. Разложение сил по осям:

   Возьмём оси:

   • Ось $x$ вдоль поверхности доски.
   • Ось $y$ перпендикулярна доске.

   Тогда разложение сил даёт:

   • Проекция силы тяжести на ось $x$: $mg \sin \alpha$.
   • Проекция силы тяжести на ось $y$: $mg \cos \alpha$.
   • Сила трения: $F_{\text{тр}} = \mu N = \mu mg \cos \alpha$.

3. Условие равновесия вдоль оси $x$:

   Для равновесия вдоль оси $x$ сумма сил должна быть равна нулю:

   $$F_{\text{упр}} = mg \sin \alpha - \mu mg \cos \alpha$$

   Подставим $F_{\text{упр}} = kx$:

   $$kx = mg \sin \alpha - \mu mg \cos \alpha$$

   Разделим всё на $mg$:

   $$\frac{kx}{mg} = \sin \alpha - \mu \cos \alpha$$

4. Система уравнений для двух углов:

   Подставим значения углов и удлинений для $\alpha_1 = 20^\circ$ и $\alpha_2 = 30^\circ$:

   $$\frac{k \cdot 0.03}{mg} = \sin 20^\circ - \mu \cos 20^\circ \tag{1}$$ $$\frac{k \cdot 0.07}{mg} = \sin 30^\circ - \mu \cos 30^\circ \tag{2}$$

5. Решение системы уравнений:

   Обозначим $\frac{k}{mg} = A$. Тогда уравнения примут вид:

   $$0.03A = \sin 20^\circ - \mu \cos 20^\circ \tag{3}$$ $$0.07A = \sin 30^\circ - \mu \cos 30^\circ \tag{4}$$

   Разделим уравнение (4) на уравнение (3):

   $$\frac{0.07A}{0.03A} = \frac{\sin 30^\circ - \mu \cos 30^\circ}{\sin 20^\circ - \mu \cos 20^\circ}$$

   Подставим значения синусов и косинусов: $\sin 20^\circ \approx 0.342$, $\cos 20^\circ \approx 0.940$, $\sin 30^\circ = 0.5$, $\cos 30^\circ \approx 0.866$:

   $$\frac{0.07}{0.03} = \frac{0.5 - \mu \cdot 0.866}{0.342 - \mu \cdot 0.940}$$ $$\frac{7}{3} = \frac{0.5 - 0.866\mu}{0.342 - 0.940\mu}$$

6. Решение полученного уравнения:

   Умножим крест-накрест и раскроем скобки:

   $$7(0.342 - 0.940\mu) = 3(0.5 - 0.866\mu)$$