Частица совершает гармоническое колебание с амплитудой а и периодом Т. Найти: а) время t1 за которое смещение частицы изменяется от 0 до а/2, б) время t2, за которое смещение изменяется от а/2 до а.

Гармоническое колебание описывается уравнением смещения:

где $a$ — амплитуда, $T$ — период колебания, а $t$ — время. Нам нужно найти два временных интервала: $t_1$, за которое смещение меняется от 0 до $a/2$, и $t_2$, за которое смещение меняется от $a/2$ до $a$.

Часть (а): Найдем $t_1$

1. Смещение от $0$ до $a/2$: При $x = a/2$, подставляем значение в уравнение $x(t)$:

   $$\frac{a}{2} = a \sin\left(\frac{2\pi}{T} t_1\right).$$

2. Упрощаем уравнение: Делим обе части на $a$:

   $$\frac{1}{2} = \sin\left(\frac{2\pi}{T} t_1\right).$$

3. Решаем относительно $t_1$: Зная, что $\sin(\theta) = 1/2$ при $\theta = \pi/6$ (в первой четверти), выражаем аргумент:

   $$\frac{2\pi}{T} t_1 = \frac{\pi}{6}.$$

4. Находим $t_1$: Умножаем обе части на $\frac{T}{2\pi}$:

   $$t_1 = \frac{T}{12}.$$

Таким образом, время, за которое смещение изменяется от $0$ до $a/2$, равно:

Часть (б): Найдем $t_2$

1. Смещение от $a/2$ до $a$: Смещение $x = a$ соответствует уравнению $x(t)$:

   $$a = a \sin\left(\frac{2\pi}{T} t_2\right).$$

2. Для $x = a$: Синус принимает значение $1$, поэтому:

   $$\sin\left(\frac{2\pi}{T} t_2\right) = 1.$$

   Это происходит, когда аргумент синуса равен $\pi/2$:

   $$\frac{2\pi}{T} t_2 = \frac{\pi}{2}.$$

3. Найдем $t_2$ относительно $a/2$: Ранее мы нашли, что для $x = a/2$:

   $$t = \frac{T}{12}.$$

   Для $x = a$, значение времени будет:

   $$t = \frac{T}{4}.$$

4. Разность времени $t_2$: Поскольку $t_2$ — это разность между временем для $x = a$ и $x = a/2$, получаем:

   $$t_2 = \frac{T}{4} - \frac{T}{12}.$$

5. Приводим к общему знаменателю:

   $$t_2 = \frac{3T}{12} - \frac{T}{12} = \frac{2T}{12} = \frac{T}{6}.$$